3.4.1直线的方向向量与平面的法向量同步学案

4．1　直线的方向向量与平面的法向量 最新课标 能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面法向量． [教材要点] 要点一　直线的方向向量与直线的向量表示 1．直线的方向向量 设点A，B是直线上不重合的任意两点，称为直线l的方向向量． 2．直线的向量表示 已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量．那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得_____，这个式子称为直线l的向量表示． 　1.在空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线l平行或重合． 2．与直线l平行的任意非零向量都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 3．给定空间中任意一点A和非零向量，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量的直线． 4．表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反． 要点二　平面的法向量及其应用 1．平面的法向量：如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线 l的方向向量n叫做平面α的法向量，则n⊥α. 2．平面α的方程： 在空间直角坐标系中，若n＝(A，B，C)，点M的坐标为(x0，y0，z0)，则对于平面α内任意一点P(x，y，z)，则称A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0为平面α的方程． 　利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，只需取一个较简单的非零向量作为法向量即可． [基础自测] 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)直线上任意两个不同的点A，B表示的向量都可作为该直线的方向向量．(　　) (2)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．(　　) (3)直线的方向向量是唯一的．(　　) (4)若，都是直线l的方向向量，则∥，所以AB∥CD.(　　) 2．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1，2，3) B．(1，3，2) C．(2，1，3) D．(3，2，1) 3．已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则(　　) A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝ 4．经过点(1，1，1)且与z轴垂直的平面的方程为_____． 题型一　求直线的方向向量 例1　 如图，在三棱台ABC A1B1C1中，AB＝2A1B1，B1D＝2DC1，CE＝EC1，设＝a，＝b，AA1＝c，以{a，b，c}为空间的一个基，求直线AE，AD的一个方向向量． 方法归纳 求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算． 跟踪训练1　在四棱锥P ABCD中，ABCD是平行四边形，E在PC上，且CE＝3EP，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间的一个基，求直线AE的一个方向向量． 题型二　求平面的法向量 例2　如图，已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系． (1)求平面ABCD的一个法向量； (2)求平面SAB的一个法向量； (3)求平面SCD的一个法向量． 　求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量． (2)取特值：在求的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量． (3)注意0：提前假定法向量＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0. 方法归纳 利用待定系数法求平面法向量的步骤 1．设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z). 2．选向量：在平面内选取两个不共线向量，. 3．列方程组：由列出方程组． 4．解方程组： 5．赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). 6．得结论：得到平面的一个法向量． 跟踪训练2　如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，P ... ...