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课件网) 第四章 平行四边形 4.2.3 平行四边形及其性质（3） 知识回顾 我们学过平行四边形有哪些性质 平行四边形的两组对边分别相等. 夹在两条平行线间的平行线段相等. 夹在两条平行线间的垂线段相等. 推论： B C A D 任意画一个平行四边形，连结它的两条对角线，你发现了什么？你能证明你发现的结论吗？ B C A D 获取新知 如图 ，在□ABCD中，连接 AC，BD，并设它们相交于点O, OA与OC，OB与OD有什么关系？你能证明发现的结论吗？ 我们猜想，在□ABCD中，OA=OC，OB=OD. 与证明平行四边形的对边相等、对角相等的方法类似，我们也可以通过三角形全等证明这个猜想.请你试着完成证明. 在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O (如图). 求证:OA＝OC，OB＝OD. 证明：如图，在□ABCD中， AD∥BC(平行四边形的定义)， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 又∵AD＝CB (平行四边形的对边相等)， ∴△AOD≌△COB. ∴OA＝OC，OB＝OD. 几何语言： 平行四边形性质2：平行四边形的对角线互相平分 ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OA＝OC，OB＝OD．（平行四边形的对角线互相平分） 例3 如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O.过点O作直线EF，分别交AB，CD于点E，F. 求证：OE＝OF. 证明：如图，在□ABCD中， AB∥CD(平行四边形的定义)， ∴∠1＝∠2， 又∵OA＝OC (平行四边形的对角线互相平分)，∠3＝∠4 ∴△AOE≌△COF. ∴OE＝OF. 例4 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点E，AC⊥BC.若 AC＝4，AB＝5，求BD的长. 分析：如图，因为平行四边形的两条对角线互相平分，所以要求BD的长，只需求出BE的长. 在Rt△ABC中，AB，AC长已知， 可求得BC的长. 又 ,则BE可求. 请你完成求解过程. 解：∵ AC⊥BC ∴BC2=AB2-AC2=25=16=9（勾股定理） ∴ BC=3 ∵ 四边形ABCD是平行四边形 （平行四边形对角线互相平分） ∴CE= AC=2，BD=2BE （勾股定理） ∴BD=2BE= 平行四边形 性质 边：平行四边形的对边平行且相等； 角：平行四边形的对角相等； 对角线：平行四边形的对角线_____ 互相平分 随堂演练 1.如图4-2-29,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.如果BD=12,AC=10,BC=m,那么m的取值范围是 ( ) C 图4-2-29 A.10
