18.5 第4课时 相似三角形的判定(四) 1.如,AD是Rt△ABC斜边上的中线,AE⊥AD交CB的延长线于点E,则中一定相似的三角形是 ( ) A.△AED与△ACB B.△AEB与△ACD C.△BAE与△ACE D.△AEC与△DAC 2.如,AB∥CD,AD,BC相交于点O,E,F分别是OA,OB的中点.若OB=4,OC=3,EF=4,则CD的长为 ( ) A. B.4 C.6 D.8 3.如,点D,E分别在△ABC的AB,AC边上,增加下列条件中的一个:①∠AED=∠B;②∠ADE=∠C;③=;④=;⑤AC2=AD·AE,能使△ADE与△ACB一定相似的有 ( ) A.①②④ B.②④⑤ C.①②③④ D.①②③⑤ 4.如,等边三角形ABC的边长为3,P为BC边上一点,且BP=1,D为AC边上一点.若∠APD=60°,则CD的长为 ( ) A. B. C. D.1 5.如,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,AD=9,BD=4,那么CD= ,AC= . 6.[2020·海淀区期末] 如,在△ABC与△ADE中,=,且∠EAC=∠DAB. 求证:△ABC∽△ADE. 7.如,已知∠ACB=∠CBD=90°,AC=4 cm,BC=3 cm,那么BD为多少时,△ACB与△CBD相似 8.[2020·西城区期末] 如,在△ABC中,AD平分∠BAC,E是AD上一点,且BE=BD. (1)求证:△ABE∽△ACD; (2)若BD=1,CD=2,求的值. 9.如,在 ABCD中,E是AB延长线上一点,连接DE,交AC于点G,交BC于点F,请找出中所有相似的三角形(不含全等三角形),任选其中一对进行证明. 10.如,在△ABC中,AB=8 cm,BC=16 cm,点P从点A出发沿AB边向点B以2 cm/s的速度移动,点Q从点B出发沿BC边向点C以4 cm/s的速度移动,如果点P,Q分别从点A,B同时出发,当点Q到达点C时,两点同时停止运动.经过几秒△BPQ和△BAC相似 11.如,将Rt△BPE与正方形ABCD叠放在一起,并使其直角顶点P落在线段CD上(不与C,D两点重合),斜边的一部分与线段AB重合,EP交AD于点F. (1)中与Rt△BCP相似的三角形共有 个,分别是 ; (2)请选择第(1)问答案中的任意一个三角形,完成该三角形与Rt△BCP相似的证明. 12.王华在学习相似三角形时,在北京市义务教育教科书九年级上册第31页遇到这样一道题:如①,在△ABC中,P是边AB上的一点,连接CP.要使△ACP∽△ABC,还需要补充的一个条件是 ,或 . 请回答: (1)王华应补充的条件是 ,或 . (2)请你参考上面的形和结论,探究、解答下面的问题: 如②,在△ABC中,∠A=30°,AC2=AB2+AB·BC,求∠ACB的度数. 答案 1.C 解： ∵AD是Rt△ABC斜边上的中线, ∴AD=BD=CD, ∴∠C=∠DAC. ∵∠BAE+∠BAD=90°,∠DAC+∠BAD=90°, ∴∠BAE=∠DAC,∴∠C=∠BAE. 又∵∠E=∠E,∴△BAE∽△ACE. 2.C 3.A 4.B 5.6 3 6.证明:∵∠EAC=∠DAB, ∴∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE, ∴∠BAC=∠DAE. 又∵=,∴△ABC∽△ADE. 7.解： 此类问题,不能想当然地认为就是△ACB∽△CBD,等角的不同决定了相似三角形对应点的不同,一定要注意分类讨论. 解:∵∠ACB=∠CBD=90°, ∴分以下两种情况讨论. 当△ACB∽△DBC时, ==1,∴DB=AC=4 cm; 当△ACB∽△CBD时, =,∴DB==(cm). 综上所述,当BD为4 cm或 cm时,△ACB与△CBD相似. [点评] 中考对数学思想的考查是非常到位的,分类讨论的数学思想是中考考查的重点. 8.解:(1)证明:∵AD平分∠BAC, ∴∠BAE=∠CAD. ∵BE=BD,∴∠BED=∠BDE, ∴∠AEB=∠ADC, ∴△ABE∽△ACD. (2)∵△ABE∽△ACD, ∴=. ∵BE=BD=1,CD=2, ∴=. 9.解:△EFB∽△EDA,△FGC∽△DGA,△EBF∽△DCF,△GAE∽△GCD,△ADE∽△CFD. 选择△EFB∽△EDA进行证明. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC∥AD, ∴△EFB∽△EDA.(所选相似三角形不唯一) 10.解:设经过t s△BPQ和△BAC相似. 当△BPQ∽△BAC时,=, 即=, 解得t=2; 当△BPQ∽△BCA时,=, 即=, 解得t=. 答:经过2 s或 s△BPQ和△BAC相似. 11.解:(1)3 Rt△EPB,Rt△PDF,Rt△EAF (2)答案不唯一,如:选择Rt△EPB. ... ...
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