2013中考数学压轴题几何与函数问题精选解析(二)

2013中考数学压轴题几何与函数问题精选解析(二) 例3如图（1）,在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 图（1） 图（2） 图（3） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )【思路点拨】（1）证△AMN ∽ △ABC；（2）设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，先求出OD（用x的代数式表示），再过M点作MQ⊥BC 于Q，证△BMQ∽△BCA；（3）先找到图形娈化的分界点，＝2。然后 分两种情况讨论求的最大值： ① 当0＜≤2时， ② 当2＜＜4时。 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 解析（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C． ∴ △AMN ∽ △ABC． ∴ ，即． ∴ AN＝x． ∴ =．（0＜＜4） （2）如图（2），设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN． 在Rt△ABC中，BC ＝=5． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC． ∴ ，即． ∴ ， ∴ ．过M点作MQ⊥BC 于Q，则． 在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角， ∴ △BMQ∽△BCA． ∴ ． ∴ ，． ∴ x＝． ∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切． （3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点． ∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC． ∴ △AMO ∽ △ABP． ∴ ． AM＝MB＝2． 故以下分两种情况讨论： ① 当0＜≤2时，． ∴ 当＝2时， ② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F． ∵ 四边形AMPN是矩形， ∴ PN∥AM，PN＝AM＝x． 又∵ MN∥BC， ∴ 四边形MBFN是平行四边形． ∴ FN＝BM＝4－x． ∴ ． 又△PEF ∽ △ACB． ∴ ．∴ ． ＝． 当2＜＜4时，． ∴ 当时，满足2＜＜4，． 综上所述，当时，值最大，最大值是2． 例4 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（1）求梯形ABCD的面积； ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（2）求四边形MEFN面积的最大值． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 解析 （1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H． ∵ AB∥CD， ∴ DG＝CH，DG∥CH． ∴ 四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1． ∵ DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°， ∴ △AGD≌△BHC（HL）． ∴ AG＝BH＝＝3． ∵ 在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5， ∴ DG＝4． ∴ ． （2）∵ MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB， ∴ ME＝NF，ME∥NF． ∴ 四边形MEFN为矩形． ∵ AB∥CD，AD＝BC， ∴ ∠A＝∠B． ∵ ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°， ∴ △MEA≌△NFB（AAS）． ∴ AE＝BF． 设AE＝x，则EF＝7－2x． ∵ ∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°， ∴ △MEA∽△DGA． ∴ ．∴ ME＝． ∴ ． 当x＝时，ME＝＜4，∴四边形MEFN面积的最大值为． （3）能． 由（2）可知，设AE＝x，则EF ... ...