2013中考数学压轴题矩形问题精选解析(一)

2013中考数学压轴题矩形问题精选解析(一) 例1．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′ 和折痕OP．设BP＝t． （Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标； （Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′ 上，得点C′ 和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′ 恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）． 解析：（Ⅰ）根据题意，∠OBP＝90°，OB＝6 在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t 根据勾股定理，OP 2＝OB 2＋BP 2 即( 2t )2＝6 2＋t 2，解得t＝2（t＝－2舍去）． ∴点P的坐标为（2，6） （Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的 ∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP ∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC ∵∠OPB′＋∠OPB＋∠QPC′＋∠QPC＝180°，∴∠OPB＋∠QPC＝90° ∵∠BOP＋∠OPB＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ 又∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ，∴ ＝ 由题设BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则PC＝11－t，CQ＝6－m ∴ ＝ ，∴m＝ t 2－ t＋6（0＜t ＜11） （Ⅲ）点P的坐标为（ EQ \F(11－ , 3 ) ，6）或（ EQ \F(11＋ , 3 ) ，6） 提示：过点P作PH⊥OA于H 易证△PC′H∽△C′QA，∴ ＝ ∵PC′＝PC＝11－t，PH＝OB＝6，AQ＝m，C′Q＝CQ＝6－m ∴AC′＝ ＝ ∴ EQ \F( 6 , ) ＝ ∵ ＝ ，即 ＝ ∴ EQ \F( 6 , ) ＝ ，∴36－12m＝t 2，即12m＝36－t 2 又m＝ t 2－ t＋6，即12m＝2t 2－22t＋72 ∴2t 2－22t＋72＝36－t 2，即3t 2－22t＋36＝0 解得：t＝ eq \f(11±,3) ∴点P的坐标为（ EQ \F(11－ , 3 ) ，6）或（ EQ \F(11＋ , 3 ) ，6） 例2（在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E是AB边上一点（与A、B不重合），EF⊥CE交AD于点F，过点E作∠AEH＝∠BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N． （1）如图1，当点H与点F重合时，求BE的长； （2）如图2，当点H在线段FD上时，设BE＝x，DN＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）连接AC，当△FHE与△AEC相似时，求线段DN的长． 解析：（1）∵EF⊥EC，∴∠AEF＋∠BEC＝90° ∵∠AEH＝∠BEC，∴∠BEC＝45° ∵∠B＝90°，∴BE＝BC ∵BC＝3，∴BE＝3 （2）过点E作EG⊥CN，垂足为点G ∴BE＝CG ∵AB∥CN，∴∠AEH＝∠N，∠BEC＝∠ECN ∵∠AEH＝∠BEC，∴∠N＝∠ECN，∴EN＝EC ∴CN＝2CG＝2BE ∵BE＝x，DN＝y，CD＝AB＝4 ∴y＝2x－4（2≤x ≤3） （3）∵∠A＝90°，∴∠AFE＋∠AEF＝90° ∵EF⊥EC，∴∠AEF＋∠BEC＝90° ∴∠AFE＝∠BEC，∴∠HFE＝∠AEC 当△FHE与△AEC相似时 ①若∠FHE＝∠EAC ∵∠BAD＝∠B，∠AEH＝∠BEC ∴∠FHE＝∠ECB，∴∠EAC＝∠ECB ∴tan∠EAC＝tan∠ECB，∴ ＝ ∴ ＝ ，∴BE＝ ，∴DN＝ ②若∠FHE＝∠ECA，作EG⊥CN于G，交AC于O ∵EN＝EC，EG⊥CN，∴∠1＝∠2 ∵AH∥EG，∴∠FHE＝∠1，∴∠FHE＝∠2 ∴∠2＝∠ECA，∴OE＝OC 设OE＝OC＝3k，则AE＝4k，AO＝5k ∴AO＋OC＝8k＝5，∴k＝ ∴AE＝ ，BE＝ ，∴CN＝3，∴DN＝1 综上所述：线段DN的长为 或1 A B x O y C P B′ 图② C′ Q A B x O y C P B′ 图① A B x O y C P B′ C′ Q A B x O y C P Q H A E B F C 备用图 D A E B N D C 图1 F (H) A B E N D C F H 图2 A B E N D C F H G A B H N C D F E C C 1 2 A B H C D F E N G O ... ...