2013中考数学压轴题菱形问题精选解析(一)

2013中考数学压轴题菱形问题精选解析(一) 例1 如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠B＝30°，E为AB上一点，且AE＝4cm．动点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，PE交射线DA于点M，设运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，△MAE的面积为3cm2 ？ （2）在点P出发的同时，动点Q从点D出发，以1cm/s的速度沿DC边向点C运动，连接MQ、PQ，试求△MPQ的面积S（cm2）与t（s）之间的函数关系式，并求出当t为何值时，△MPQ的面积最大，最大值为多少？ （3）连接EQ，则在运动中，是否存在这样的t，使得△PQE的外心恰好在它的一边上？若存在，请直接写出满足条件的t的个数，并选择其一求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 解析：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴△EAM∽△EBP. ∵AE＝4cm，BE＝8cm，BP＝t cm，∴AM＝ t cm 由S△EAM ＝3cm2、∠MAE＝30°、AE＝4cm，得 × t×2＝3，解得t＝6 ∴当t为6s时，△MAE的面积为3cm2 （2）∵AD∥BC，∴S梯形PCDM ＝ ( 12－t＋12＋ t )×6＝72－ t ∵S△MQD ＝ ( 12＋ t )× t＝ t 2＋3t，S△PCQ ＝ ( 12－t )( 12－t )× ＝ ∴S＝S梯形PCDM － S△MQD － S△PCQ ＝－ t 2＋ t＋36 ∵S＝－ t 2＋ t＋36＝－ ( t－2)2＋ ∴当t＝2时，△MPQ的面积最大，最大值为 （3）存在，t的值有两个 ∵△PQE的外心恰好在它的一边上，∴△PQE为直角三角形 ∵∠PQE＜∠CQE＜90°，∴只能∠EPQ＝90°或∠PEQ＝90° 选择求∠EPQ＝90°时的t值（若求∠PEQ＝90°时的t值，则计算相当复杂） ∵BP＝DQ，BC＝DC，∴PQ∥BD ∴PE⊥BD ∵AC⊥BD，∴PE∥AC 又∵BA＝BC，∴BP＝BP＝8cm ∴当t＝8s时，∠EPQ＝90° 例2 如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合． （1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF； （2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值． 解析： （1）证明：连接AC ∵菱形ABCD中，∠BAD＝120° ∴∠BAC＝60°，∠B＝60° ∴△ABC是正三角形，∴AB＝AC 又△AEF为正三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF 而∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF ∴△ABE≌△ACF，∴BE＝CF （2）当E、F在BC、CD上滑动时，四边形AECF的面积不发生变化，其值为4 由（1）知，S△ABE ＝S△ACF ∴S四边形AECF ＝S△ABC ＝ EQ \F(, 4 )×4 2＝4 而△CEF的面积发生变化，其最大值为 ∵S△CEF ＝S四边形AECF －S△AEF ＝4－ EQ \F(, 4 )AE 2 当AE⊥BC时，AE的长最小，最小值为AB·sin60°，即AE＝4× EQ \F(, 2 )＝2 ∴S△CEF的最大值为4－ EQ \F(, 4 )(2)2＝ A B D Q C P E M A B D C E 备用图 A B D Q C P E M A C B F E D A C B F E D