第10讲 四边形综合 一、四边形之多结论探究 知识导航 对于四边形综合中的多结论问题，一般采取先易后难、相关推导的原则，在已知结论的基础上推导确认 剩余结论的准确性，有时候也要用到“假定反推”的方法，即假定结论是正确的，来寻找条件中的矛盾。 经典例题 例题1 1 已知如图，在平行四边形 中， 、 分别为边 、 的中点， 是对角线， ， 交 的延长线于 ，连接 ，若 ．下列结论： ① ； ②四边形 是菱形； ③ ； ④ ． 其中正确的是（ ）． A. ①②③④ B. ①② C. ①③ D. ①②④ 2 如图，在平行四边形 中， ， 是 的中点，作 ，垂足 在线段 上，连 接 、 ，则下列结论中：① ；② ；③ ；④ ．一定成立的是（ ）． A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 二、四边形之动点探究 知识导航 四边形的动点问题就是在四边形的背景下，继续遵循解决动态问题的原则：变化中寻找不变量，这个不 变量可能是线段、图形的数量关系或者位置关系，以求证不同图形下的相同或相似结论。 经典例题 例题2 观察下列图形的变化过程，解答以下问题： 如图，在 中， 为 边上的一动点（ 点不与 、 两点重合）． 交 于 点， 交 于 点． (1) 试探索 满足什么条件时，四边形 为菱形，并说明理由． (2) 在（ ）的条件下， 满足什么条件时，四边形 为正方形．为什么？ 例题3 如图，在 中，点 是边上一个动点，过点 作直线 ，设 交 的平分线于点 ，交 的外角平分线于点 ． (1) 探究 与 的数量关系并加以证明． (2) 当点 在边 运动时，四边形 会是菱形吗？若是，请加以证明；若不是，则说明理 由． (3) 当点 在 运动到什么位置，四边形 是矩形，请说明理由． (4) 在（ ）问的基础上， 满足什么条件时，四边形 是正方形？为什么？ 例题4 如图，在矩形 中， ， ．点 从点 出发向点 运动，运动到点 即停止； 同时，点 从点 出发向点 运动，运动到点 即停止，点 、 的速度都是 ．连接 、 、 ．设点 、 运动的时间为 ． (1) 当 为何值时，四边形 是矩形． (2) 当 为何值时，四边形 是菱形． (3) 分别求出（ ）中菱形 的周长和面积． 三、四边形之旋转探究 知识导航 四边形中的旋转问题是图形的动态问题，寻找变化中的不变关系仍是解决问题的关键。 经典例题 例题5 如图，菱形 中， 、 分别是边 ， 上的两个动点（不与菱形的顶点重合），且满足 ， ． 图 (1) 写出图中一对全等三角形： ． (2) 若菱形 的边长为 ． 1 设 的周长为 ，则 的取值范围为 （直接写出答案）． 2 设 的面积为 ，求出 的最大值． 3 连接 分别与边 、 交于点 、 ，且 ，试说明： ． 备用图 四、数学万花筒 富兰克林的遗嘱与拿破仑的诺言 你知道本杰明·富兰克林是何许人吗？ 富兰克林利用放风筝而感受到电击，从而发明了避雷针。这位美国著名的科学家死后留下了一份有 趣的遗嘱： ———……一千英磅赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千英磅，那么这笔钱应该托付给一些挑选出 来的公民，他们得把这些钱按每年5％的利率借给一些年轻的手工业者去生息。这些款过了100年增加到 131000英磅。我希望那时候用100000英磅来建立一所公共建筑物，剩下的31000英磅拿去继续生息100 年。在第二个100年末了，这笔款增加到4061000英磅，其中1061000英磅还是由波士顿的居民来支配， 而其余的3000000英磅让马萨诸塞州的公众来管理。过此之后，我可不敢多作主张了！” 同学们，你可曾想过：区区的1000英磅遗产，竟立下几百万英磅财产分配的遗嘱，是“信口开河”， 还是“言而有据”呢？事实上，只要借助于复利公式，同学们完全可以通过计算而作出自己的判断。 就是复利公式，其中m为本金，a为年利率，为n年后本金与利息的总和。在第一个100年末富兰克 林的财产应增加到y；（英磅 ... ...
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