第12讲 一元二次方程的判别式及根系关系 一、一元二次方程的判别式 知识导航 根的判别式 示例剖析 设一元二次方程为 ， 其根的判别式为： 则 应用一：不解方程，直接判断方程根的情况 ① 方程 不解方程，直接判断下列方程的解的情况： 有两个不 ① 相等的实数根 ② ② 方程 ③ 有两个相 ④ （ 为常数） 等的实数根 解：① ，有两个不相等实根 ③ 方程 ② ，有两个相等实根 没有实数 ③ ，无实根 根 ④ ，方程有两个不相等实根 注： 方程 有实数根 或有两个实数根 应用二：已知方程根的情况，求参数及参数的取值范围 1、关于 的一元二次方程 有两 个不相等的实数根，则 的取值范围为 . 解：由题意，得 ， 解之得 且 . 2、已知关于 的方程 有实数根，则 的取值范围为 . 解：①当 时，原方程为 有解，故 符合题 意； ②当 时， 由题意，得 解之得 且 ； 综上， 应用三：根的判别式在几何中的应用 经典例题 例题1 1 当 取什么值时，关于 的方程 ． (1) 有两个不相等的实根； (2) 有两个相等的实根； (3) 无实根． 2 已知关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围为 ． 3 若关于 的一元二次方程 有实根，则 的取值范围是 ． 例题2 1 已知 、 、 为 的三边，请判断关于 的方程 根的情况． 2 已知 、 、 是 的三边，且方程 有两个相等的实数根，试 判断这个三角形的形状． 例题3 已知关于 的一元二次方程 ． (1) 求证：不论 取何实数，该方程总有实数根． (2) 若等腰 的一边长为 ，另两边长恰好是方程的两个根，求 的周长． 二、一元二次方程的根系关系 知识导航 一元二次方程的根系关系（韦达定理） 韦达定理 示例剖析 应用一：已知一根，求另一根 1、已知 是关于 的一元二次方程 若方程 的两根是 、 的一个根，则方程的另一个根 是多 ， 少？ 则 ， 法1：将 代入原方程得： ∴ 注意：隐含的条件 法2：由题可得：3+ =4 ∴ 应用二、已知方程，求关于两根的代数式 已知实数 ， 是方程 的两根，求代数 式 的值． 解：由题知： ， ∴ 应用三：已知方程和两根的关系求字母系数 已知关于 的方程 的两根 、 满足 条件 ，求 的值． 解：由一元二次方程根与系数的关系得： ， 联立方程组解得： ， ∴ 经典例题 例题4 1 已知方程 的一个根是 ，求它的另一个根及 的值． 2 已知关于 的一元二次方程 的一根 ，求方程的另一根 ． 例题5 1 已知 ， 是方程 的两个实数根，求下列代数式的值： (1) ． (2) ． (3) ． (4) ． 2 设 ， 是方程 的两个实数根，则 ． 例题6 1 已知关于 的方程 的两个实数根 、 满足 ，求 的值. 2 已知关于 的一元二次方程 ． (1) 若方程有实数根，求实数 的取值范围． (2) 若方程两实数根分别为 、 ，且满足 ，求实数 的值． 三、数学万花筒 古代方程趣味题赏析 我国古代历史悠久，特别是数学成就更是十分辉煌，在民间流传着许多趣味数学题，一般都是以朗 朗上口的诗歌形式表达出来，以下几例供大家欣赏。 （一）周瑜的年龄 大江东去浪淘尽 ，千古风流数人物 。 而立之年督东吴 ，早逝英年两位数 。 十比个位正小三 ，个位六倍与寿符 。 哪位学子算得快 ，多少年华属周瑜 ？ 解析：依题意得周瑜的年龄是两位数，且个位数字比十位数字大3，若设 十位数字为x，则个位数字为（x+3），由“个位6倍与寿符”可列 方程得：6(x+3)=10x+(x+3),解得x=3,所以周瑜的年龄为36岁 。 （二）壶中原有多少酒 李白街上走 ，提壶去买酒 。 遇店加一倍 ，见花喝一斗 。 三遇店和花 ，喝光壶中酒 。 试问酒壶中 ，原有多少酒？ 解析：李白的壶中原有x斗酒，第一次遇到店加了x斗酒后变为2x斗酒， 第一次赏花喝去1斗酒，此时还剩下（2x-1）斗酒，第二次遇到店时， 壶中酒变为2（2x-1）斗酒，第二次赏花又喝去1斗酒，此时壶中还剩 下【2（2x-1） ... ...
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