第5讲 相似三角形 知识点1相似三角形的判定 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. 相似三角形的判定： （1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似. （2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似. （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似. （4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似. 直角三角形相似判定定理 斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似. 【典例】 1.如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为 时，△ACB与△ADC相似． 【答案】4 【解析】解：∵∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2， ∴△ADC是等腰直角三角形，AC==2， ∵△ACB与△ADC相似， ∴△ACB是等腰直角三角形，BC=AC=2， ∴AB==4， 即当AB的长为4时，△ACB与△ADC相似； 故答案为：4． 2.如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）． （1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求出这个最大值； （2）求证：△PAN∽△PMB． 【解析】解：（1）当点M在的中点处时，△MAB面积最大，此时OM⊥AB， ∵OM=AB=×4=2， ∴S△ABM=AB OM=×4×2=4； （2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P，∴△PAN∽△PMB． 3.如图，已知 O 是△ABC 内一点，D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点． 求证：△ABC∽△DEF． 【解析】证明：∵D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点， ∴DE= AB，EF= BC，DF= AC， 即 = = ， ∴△ABC∽△DEF 4.如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过 P作PF⊥AE于F． （1）求证：△PFA∽△ABE； （2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠PAF=∠AEB． ∵∠PFA=∠ABE=90°， ∴△PFA∽△ABE． （2）若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB． ∴PE∥AB． ∴四边形ABEP为矩形． ∴PA=EB=2，即x=2． 若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB． ∵∠PAF=∠AEB， ∴∠PEF=∠PAF． ∴PE=PA． ∵PF⊥AE， ∴点F为AE的中点． ∵AE=， ∴EF=AE=． ∵，即， ∴PE=5，即x=5． ∴满足条件的x的值为2或5． 【方法总结】 在有一组对应角相等的情况下，可以从两个方面选择突破口： ①寻找另一组对应角相等：②寻找两个三角形中这个已知角的两边的比相等. （2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似（此知识常用，但是有时需要证明） （3）若两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，或斜边和一条直角边成比例，则这两个直角三角形相似. 【随堂练习】 1．（2018 襄州区模拟）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP=_____． 【解答】解：①当△APD∽△PBC时，=， 即=， 解得：PD=1，或PD=4； ②当△PAD∽△PBC时，=，即=， 解得：DP=2.5． 综上所述，DP的长度是1或4或2.5． 故答案是：1或4或2.5． 2．（2018 扬中市二模）如图， ABCD的对角线交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE． （1）求证：△BDE是直角三角形； （2）如果OE⊥CD，试判断△BDE与△DCE是否相似，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD， ∵OE=OB， ∴OE=OD， ∴∠OBE=∠OEB，∠ODE=∠OED， ∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED=180°， ∴∠BED=∠OEB+∠OED=90°， ∴DE⊥BE，即△BDE是直角三角形； （2）解：△BDE与△DCE相似． ∵OE⊥CD， ∴∠CEO+ ... ...
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