中小学教育资源及组卷应用平台 第二讲 用二分法求方程的近似解 【学习目标】 1.能用二分法求出方程的近似解. 2.了解二分法求方程近似解． 知识点1 二分法的定义 (1)满足的条件： 在区间[a，b]上连续不断的函数y＝f(x)且在区间端点的函数值满足：f(a)f(b)<0. (2)操作过程： 把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值． 知识点2 二分法求函数零点近似值的步骤 题型一 二分法概念的理解 【例1】 (1)下列函数中，不能用二分法求零点的是( ) (2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1,3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是_____．21·cn·jy·com 解析 (1)观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，故B不能用二分法求零点．2·1·c·n·j·y (2)设f(x)＝2x＋3x－ 出卷网7，f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零点所在的区间为(1,2)，∴方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1,2)．【来源：21·世纪·教育·网】 答案 (1)B (2)(1,2) 规律方法 运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右函数值异号． 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点． 【训练1】 已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( ) A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3 解析 图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.21·世纪*教育网 答案 D 题型二 用二分法求函数的零点 【例2】 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度0.01)． 解 经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0. 取区间(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25,1.5)． 如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表： (a，b) (a，b)的中点 中点函数值符号 (1,1.5) 1.25 f(1.25)<0 (1.25,1.5) 1.375 f(1.375)>0 (1.25,1.375) 1.312 5 f(1.312 5)<0 (1.312 5,1.375) 1.343 75 f(1.343 75)>0 (1.312 5,1.343 75) 1.328 125 f(1.328 125)>0 (1.312 5,1.328 125) 1.320 312 5 f(1.320 312 5)<0 因为|1.328 125－1.32 出卷网0 312 5|＝0.007 812 5<0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328 125. 规律方法 用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)． (2)取区间端点的平均数c，计 出卷网算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值． 【训练2】 证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一一个零点，并求出这个零点(精确度0.1)． 解 设函数f(x)＝2x＋3x－6.∵f 出卷网(1)＝－1<0，f(2)＝4>0.又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一的零点，则方程6－3x＝2x在区间(1,2)上有唯一一个实数解，设该解为x0，则x0∈(1,2)，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)f(1.5)<0，21*cnjy*com ∴x0∈(1,1.5)． 取x2＝1.25，f(1.25)＝0.128>0，f(1)·f(1.25)<0， ∴x0∈(1,1.25)． 取x3＝1.125，f(1.125)＝－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)．21世纪教育网版权所有 取x4＝1.187 5，f(1.187 5) 出卷网＝－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5,1.25)． ∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，∴可取x0＝1.25，则方程的一个实数解可取x0＝1.25. 题型三 用二分法求方程的近似解 【例3】 用二分法求方 ... ...
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