中小学教育资源及组卷应用平台 第一讲 方程的根与函数的零点 一、选择题 1．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 136.136 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064 11.238 由表可知函数f(x)存在零点的区间有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】选D ∵f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，f(6)f(7)<0，∴共有4个零点． 2．方程0.9x－x＝0的实数解的个数是( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】选B 设f(x)＝0.9x－x，则f(x)为减函数，值域为R，故有1个． 3．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是( ) A．a>0 B．a≤0 C．a≥0 D．a<0 【答案】选B 函数y＝x2＋a存在零点，则x2＝－a有解，所以a≤0. 4．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是( ) A．a<α
0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0 【答案】选B 在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x和函数y＝的图象，如图所示， 由图可知函数y＝2x和函数y＝的图象只有一个交点，即函数f(x)＝2x＋只有一个零点x0，且x0>1. 因为x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，所以由函数图象可知，f(x1)<0，f(x2)>0. 二、填空题 6．函数f(x)＝ln x－x2＋2x＋5的零点个数为_____． 解析：令ln x－x2＋2x＋5＝0得ln x＝x2－2x－5，画图可得函数y＝ln x与函数y＝x2－2x－5的图象有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2.21教育网 答案：2 7．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为_____． 解析：∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内， ∴∴∴－10，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是_____． 解析：函数f(x)＝ax－x－a(a>0 ，且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a>0且a≠1)与函数y＝x＋a的图象有两个交点，由图象可知当01时，因为函数y＝ax(a>1)的图象过点(0,1)，当直线y＝x＋a与y轴的交点(0，a)在(0,1)的上方时一定有两个交点．所以a>1. 答案：(1，＋∞) 三、解答题 9．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？ 解：因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－<0， f(0)＝20－02＝1>0， 而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．21世纪教育网版权所有 10．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围． (1)零点均大于1； (2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内． 解：(1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得解得2≤a＜.21·cn·jy·com (2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a<0，解得a>.2·1·c·n·j·y (3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得解得