第5讲 圆的认识 - 提高班（学生版+教师版）

第5讲 圆的认识 知识点1 圆的认识 1. 圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 2.圆的性质 　　①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； 　②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 3.两圆的性质 　 两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）. 4. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 　　直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　证明：连结OC、OD 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) 　∴直径AB是⊙O中最长的弦. 5. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 5.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等. 6.等弧 　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 　 1．（2017春 高密市期末）如图，一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是（　　） A．4πr B．2πr C．πr D．2r 【解答】解：圆心经过的距离就是圆的周长，所以是2πr． 故选：B． 　 2．（2016秋 武汉期末）由所有到已知点O的距离大于或等于3，并且小于或等于5的点组成的图形的面积为（　　） A．4π B．9π C．16π D．25π 【解答】解：由所有到已知点O的距离大于或等于3，并且小于或等于5的点组成的图形的面积是以5为半径的圆与以3为半径的圆组成的圆环的面积， 即π×52﹣π×32=16π， 故选：C． 3．（2017秋 锡山区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB的长是____． 【解答】解：连接OC， ∵CD=4，OD=3， 在Rt△ODC中， ∴OC===5， ∴AB=2OC=10， 故答案为：10． 　 4．（2017秋 灌南县校级期中）如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB=75°，DC交BA的延长线于E，交半圆于C，且CE=AO，求∠E的度数． 【解答】解：连结OC，如图， ∵CE=AO， 而OA=OC， ∴OC=EC， ∴∠E=∠1， ∴∠2=∠E+∠1=2∠E， ∵OC=OD， ∴∠D=∠2=2∠E， ∵∠BOD=∠E+∠D， ∴∠E+2∠E=75°， ∴∠E=25°． 　　 5．（2016秋 昭通期中）如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠AEC=20°．求∠AOC的度数． 【解答】解：连接OD，如图， ∵AB=2DE， 而AB=2OD， ∴OD=DE， ∴∠DOE=∠E=20°， ∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°， 而OC=OD， ∴∠C=∠ODC=40°， ∴∠AOC=∠C+∠E=60°． 　 知识点2垂径定理 1.垂径定理 　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论 　　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点诠释： 　(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 　　 　(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 注意：根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： 平分弦（ ... ...