第23章 图形的相似 23.3 相似三角形 2 相似三角形的判定（第2课时） 教学目标 1.掌握相似三角形的判定定理2. 2.会运用定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明两个三角形相似. 教学重难点 重点：掌握相似三角形的判定定理2. 难点：会运用相似三角形的判定定理2解决问题. 教学过程 复习巩固 1.什么叫相似三角形？ 对应边成比例，对应角相等的两个三角形叫做相似三角形. 2.什么叫相似比？ 相似三角形对应边的比叫做相似比. 3.判定三角形相似的方法： （1）平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似. （2）判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 4.相似三角形的性质： 相似三角形的对应边成比例，对应角相等，相似比等于对应边的比. 导入新课 【问题】 活动1（学生交流，教师点评） 思考 如图，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？ 图中△ADE 与△ABC的一组对应边AD与AB的长度之比为，点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE＝AC时，△ADE ∽ △ABC. ，∠A＝∠A. 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似吗？ 【答案】一定相似. 学生交流，教师点评. 教师引出课题： 23.3 相似三角形 2 相似三角形的判定 （第2课时） 探究新知 探究点一 相似三角形的判定2. 活动2 小组讨论（师生互学） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 已知：如图所示，△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，A′B′∶AB＝A′C′∶AC. 求证：△ABC∽△A′B′C′. 【探索思路】（引发学生思考）作辅助线，把△A′B′C′转移到△ABC ，再运用平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似. 【证明】在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上分别截取AD＝A′B′，AE＝A′C′， 连结DE,则△ADE≌△A′B′C′. ∵ A′B′∶AB＝A′C′∶AC ，∴ AD∶AB＝AE:AC ，∴ DE∥BC， ∴ △ADE∽△ABC， ∴ △ABC∽△A′B′C′. 活动3（学生交流，教师点评） 典例讲解（师生互动） 例1 如图所示，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点， AE＝1.5 ， AC＝2， BC＝3 ，且，求DE的长. 【探索思路】（引发学生思考）已知线段的值及线段的比，求出线段的比值，找出比值相等的两边的夹角，得相似.再根据相似三角形对应边成比例求出要求的线段的长. 【解】∵ AE＝1.5 ， AC＝2，∴ ， ∵ ，∴ . 又∵ ∠EAD＝∠CAB， ∴ △ADE∽△ABC （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）. ∴ . ∵ BC＝3， ∴ DE＝. 【即学即练】（师生互动） 如图所示，在△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，CE＝2.1，求证：△ADE∽△ABC. 【证明】因为＝，＝ ＝， 所以＝，而∠A＝∠A， 所以△ADE∽△ACB. 活动4 【综合提升】（学生交流，教师点评） 典例讲解（师生互动） 例2 如图所示，在正方形ABCD 中，P是BC上的一点，且BP＝3PC，Q是CD 的中点.求证：△ADQ∽△QCP. 【探索思路】（引发学生思考）已知线段倍数关系转化为线段比例式，再根据线段的中点，得到线段的倍数之间关系，看能否得到对应线段成比例，若能成比例，再找夹角进而证明两个三角形相似. 【证明】设正方形的边长为a. ∵ 四边形ABCD为正方形，∴ AD＝BC＝CD＝a. ∵ Q 是CD 的中点，∴ DQ ＝ QC ＝. ∵ BP ＝ 3PC，∴ PC ＝， ∴ ，∴＝. 又∵∠D ＝∠C＝ 90°， ∴ △ADQ ∽△QCP. 【题后总结】（学生总结，老师点评）解决此类问题的关键是：（1）利用观察法和图形的性质找出隐含条件（对顶角、直角、公共边等）；（2）利用分析法找出边之间的比例关系. 活动5（学生交流探讨） 【拓展训练】 如图所示，在正方形ABCD ... ...
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