第十四章 实数 14.3 实数 第1课时 实数的定义 教学目标 1.认识数的扩充的必要性； 2.认识无理数的本质特征，知道无理数的不同形式; 3.能将实数按要求进行分类. 教学重难点 重点：认识数的扩充的必要性； 难点：认识无理数的本质特征，知道无理数的不同形式. 教学过程 旧知回顾 有理数的定义及分类. 导入新课 有理数的新分类 我们知道有理数可以分为整数和分数，还有其他分法吗？ 教师提示：都化为小数试试.学生按照教师的提示完成有理数新的分类. 整数：都可化为有限小数；分数：可化为有限小数和无限循环小数. 因此有理数还可以分为有限小数和无限循环小数. 总结：整数、分数、有限小数、无限循环小数一定是有理数. 思考：生活中的数一定都是有理数吗？你见过与刚才不一样的数吗？举例说明. 探究新知 探究一 无理数 问题1：如图(1)所示，在半透明纸上画一个两条直角边都是2 cm的直角三角形ABC，然后剪下这个三角形，再沿斜边上的高CD剪开后，拼成如图(2)所示的正方形. (1)这个三角形的面积和拼成的正方形的面积是不是相等？面积是多少？ (2)如果设正方形的边长为x cm，那么x与这个正方形的面积有怎样的关系？ 教师指导，学生观察. 通过观察可得：（1）相等.面积是2 cm2. （2）如果设正方形的边长为x cm，那么x2＝2.因为正方形的边长是正数，所以x是2的算术平方根，即x＝. 问题2：是有理数吗？ 教师指导，学生讨论. 通过讨论可知既不是整数也不是分数，因此不是有理数，那么是什么数呢？ 借助计算器可以得到： 1.414 213 562…，它是一个无限不循环小数. 类似地，我们早就认识的π，也是一个无限不循环小数， π＝3.141 592 653 589 793 238…. 结： 1.无理数的定义：我们把无限不循环小数叫做无理数. 2.无理数有无数个，它可以以不同的形式存在： （1）以小数形式出现：例如，1.212 212 221…(每两个1之间依次多一个2）； （2）以根号形式出现：例如，； （3）以π的形式出现：例如，2π，-π等. 注意：无理数分为正无理数和负无理数. 教师提问，学生思考后回答： 1.带根号的数一定是无理数吗？ 2.带分数线的数一定是分数吗？ 学生分析： 带根号的数不一定是无理数，例如它们能开方，所以它们是有理数；带分数线的数不一定是分数，例如，虽然有分数线，但是是无理数，乘后仍然是无理数. 探究二 实数 实数的定义：我们把有理数和无理数统称为实数.即实数分为有理数和无理数. 例1 在下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 0，0.010 010 001 000 01…（每两个1之间依次多1个0）， 分析：牢牢抓住无理数的几种存在形式. 解：有理数有 无理数有，0.010 010 001 000 01…（每两个1之间依次多1个0），. 练习：1.下列说法正确的有_____. ①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是有理数； ④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数. 教师指导，学生分析： ①正确，无理数是实数；②不正确，实数包含无理数和有理数；③不正确，无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数；④不正确，是有理数；⑤不正确，π不带根号，但是它是无理数.正确的是①. 答案：① 2.下列说法正确的有_____. 教师指导，学生分析：（1）正确；（2）是无理数，而分数是有理数，故（2）不正确；（3）是无理数，不正确；（4）正确. 答案：（1）（4） 学生分析：无理数有共2个； 有理数有； 正数有； 分数有； 整数有. 4.如图，若开始输入的x的值为512，则最后输出的结果为_____. 教师引导，学生分析：第一次输入512，计算512的立方根是8，8是有理数，所以第二次输入8，计算8的立方根是2，2是有理数，第三次输入2，计算2的立方根是，是无理数，所以最后输出的结果是. 答案： 课堂练习 1.判断： （1）实数不是有理数就是无理数.（ ... ...
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