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课件网) 28.4 垂径定理 学 习 目 标 1.理解垂径定理的证明过程，掌握垂径定理及其推论.（重点） 2.会用垂径定理进行简单的证明和计算.（难点） 新课导入 问题 ：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 圆的对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. ●O 操作：在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一条直径所在直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 1.垂径定理 知识讲解 问题情境：如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧 相等线段: AE=BE； 相等劣弧: AC=BC, AD=BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由：连接. 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC重合，AD与BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B C D E （1）垂径定理 · O A B C D E 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE， ⌒ ⌒ AC =BC， ⌒ ⌒ AD =BD. 推导格式 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 归纳 已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为Ｅ.求证：AＥ=BＥ， AC =BC, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD =BD. 证明：如图，连接OA，OB. ∵ OA＝OB，CD⊥AB， ∴ AE＝BE. 又∵ ⊙O关于直径CD对称， ∴ A点和B点关于直径CD对称， ∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合， 因此. 同理得到. 想一想：能不能用所学过的知识证明垂径定理？ 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦. 推导格式 Ｄ Ｃ Ａ Ｂ Ｅ Ｏ 2.垂径定理的推论 思考： “不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 提示： 圆的两条直径是互相平分的，但是不一定相互垂直. O A B N D M C 一条直线满足五个条件： ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦（非直径） ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧 ① ⑤ ③④② ① ④ ③②⑤ ①③ ②④⑤ ① ④ ⑤ ② ③ ①② ③④⑤ 知二推三 总结： 例 如图所示，已知CD为☉O的直径，AB为弦，且AB⊥CD，垂足为E.若ED=2，AB=8，求直径CD的长. 解：如图所示，连接OA. 设☉O的半径为r. ∵CD为☉O的直径，AB⊥CD， ∴AE=BE. ∵AB=8， ∴AE=BE=4. 在Rt△OAE中， OA2=OE2+AE2，OE=OD-ED， 即r2=(r-2)2+42. 解得r=5，从而2r=10. 所以直径CD的长为10. 在圆中有关弦长a，半径r， 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. （1）涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系： （2）弓形中重要数量关系 A B C D O h r d d+h=r O A B C · 拓展归纳 随堂训练 1.下列说法中正确的是( ) A.在同一个圆中最长的弦只有一条 B.垂直于弦的直径必平分弦 C.平分弦的直径必垂直于弦 D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴 2.⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( ) A.∠AOD＝∠BOD B.AD＝BD C.OD＝DC D. B C 6 5 cm 3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP＝4，则过点P的最长弦的长是10，最短弦的长是 . 4.已知⊙O中，弦AB＝8 cm，圆心到AB的距离为3 cm，则此圆的半径为 . 5.如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，则弦AB的长是多少？ 解：连接AO.由题意可知，OA＝OC＝5，则OD＝OC-CD＝5-1＝4.∵ OC ... ...
