第二十五章 图形的相似 25.2 平行线分线段成比例 第2课时 平行线分线段成比例的基本事实的推论 教学目标 1.掌握平行线分线段成比例的基本事实的推论. 2.了解平行于三角形一边的直线的性质. 3.会用平行线分线段成比例的基本事实的推论解决相关的计算和证明问题. 教学重难点 重点：平行线分线段成比例的基本事实的推论及其应用. 难点：会用平行线分线段成比例的基本事实的推论解决相关的计算和证明问题. 教学过程 导入新课 平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例. 图9 符号语言： 若l1 ∥l2∥ l3 ，则. 探究新知 探究点 平行线分线段成比例的推论 如图10，直线a ∥b∥c ，分别交直线m，n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3.过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C2，C3.图中有哪些成比例线段？ 图10 师：计算与的值，你有什么发现？ 生：它们的值分别相等. 学生总结，教师点评： 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 数学符号语言： ∵ DE∥BC， ∴ 或. 思考：你能总结平行线分线段成比例的基本事实及推论的模型吗？ 学生总结，教师点评： 熟悉该基本事实及推论的几种基本图形. 新知应用 例1 如图12，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且 EF∥BC， （1）如果AE = 7， EB = 5， FC = 4，那么AF的长是多少？ （2）如果AB = 10， AE=6，AF = 5，那么FC的长是多少？ 【问题探索】根据平行线分线段成比例的推论列出比例式，即可求出AF，FC的长. 解：（1）∵ EF∥BC，∴ . ∵ AE＝7，EB＝5，FC＝4， ∴ ，∴ AF＝. （2）∵ EF∥BC，∴ . ∵ AB＝10，AE＝6，AF＝5， ∴ ∴ ， ∴ FC＝AC-AF＝. 例2 如图13所示，在△ABC中，EF∥BC，EF与两边AB，AC分别相交于点E，F. 求证：. 证明：∵ EF∥BC，∴ . 如图13所示，过点E作EG∥AC，EG与边BC相交于点G. ∵ EF∥BC，EG∥AC， ∴ 四边形EGCF为平行四边形，∴ GC＝EF， ∴ ，∴ 总结：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例. 拓展题型 例3 已知，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F.某数学兴趣小组在研究这个图形时得到如下结论： (1)当＝时，＝； (2)当＝时，＝； (3)当＝时，＝； …. 猜想：当＝时，＝？并说明理由. 【问题探索】要求当＝时，的值为多少，我们可以通过作辅助线，利用平行线分线段成比例的基本事实，证得＝＝，得到EG＝nAE，证明EG＝CG，AC＝(2n＋1)AE，即可解决问题. 解：猜想：当＝时，＝.理由如下： 如图14，过点D作DG∥BE，交AC于点G， 则＝＝， ∴ ＝，EG＝nAE. ∵ AD是△ABC的中线，∴ 点D是BC的中点. 又∵ DG∥BE， ∴ EG＝CG，AC＝(2n＋1)AE， ∴ ＝. 总结：通过作平行线，利用平行线分线段成比例的基本事实证明三角形中线段的比例，解题的关键是作辅助线，构造平行线，灵活运用平行线分线段成比例的基本事实来分析、判断、推理或解答. 课堂练习 1.如图15，已知l1∥l2∥l3，下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 图15 图16 2.如图16，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC.已知AE＝6，，则EC＝( ) A.4.5 B.8 C.10.5 D.14 3.如图17，BC∥DE，AB=15，AC=9，BD = 10，则AE=_____. 图17 图18 4.如图18，DE∥BC，AB=6，AC=9，AD=2，则EC=_____. 5.如图19，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD和BD的长. 图19 图20 6.如图20，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD=2，BD=4，BC=8.求BF和CF的长. 参考答案 1.C 2.B 3.15 4.12 ... ...
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