2013全国中考分类------动点问题

2013全国中考分类--动点问题 （2013济宁）如图，直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）． （1）求点P运动的速度是多少？ （2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？ （3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值． 考点：一次函数综合题． 分析：（1）根据直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP∥BO，得出==，据此可以求得点P的运动速度； （2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可； （3）根据（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可． 解答：解：（1）∵直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B， ∴x=0时，y=4，y=0时，x=8， ∴==， 当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t， ∵EP∥BO， ∴==， ∴AP=2t， ∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动， ∴点P运动的速度是每秒2个单位长度； （2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形， 则∵OQ=FQ=t，PA=2t， ∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t， ∴8﹣3t=t， 解得：t=2， 如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形， ∵OQ=t，PA=2t， ∴OP=8﹣2t， ∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8， ∴t=3t﹣8， 解得：t=4； （3）如图1，当Q在P点的左边时， ∵OQ=t，PA=2t， ∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t， ∴S矩形PEFQ=QP QF=（8﹣3t） t=8t﹣3t2， 当t=﹣=时， S矩形PEFQ的最大值为：=4， 如图2，当Q在P点的右边时， ∵OQ=t，PA=2t， ∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8， ∴S矩形PEFQ=QP QE=（3t﹣8） t=3t2﹣8t， ∵当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动， ∴0≤t≤4， 当t=﹣=时，S矩形PEFQ的最小， ∴t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：3×42﹣8×4=16， 综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：16． 点评：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出P，Q不同的位置进行分类讨论得出是解题关键．　 （2013 遵义）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）． （1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？ （2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由． 考点： 相似形综合题． 分析： 根据勾股定理求得AB=5cm．（1）分类讨论：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况．利用相似三角形的对应边成比例来求t的值；（2）如图，过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值；然后根据“S=S△ABC﹣S△BPH”列出S与t的关系式S=（t﹣）2+（0＜t＜2.5），则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值． 解答： 解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．∴根据勾股定理，得=5cm．（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①当△AMP∽△ABC时，=，即=，解得t=；②当△APM∽△ABC时，=，即=，解得t=0（不合题意，舍去）；综上所述，当t=时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC，∴=，即=，∴PH=t，∴S=S△ABC﹣S△BPH，=×3×4﹣×（3﹣t） t，=（t﹣）2+（0＜t＜2.5）． ... ...