7.5 三角形内角和定理 学案（2课时，无答案）

7.5.2 三角形内角和定理 预习案 预习目标及范围 1.掌握三角形外角的两条性质； 2.进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧． 3.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题. 4.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识. 范围：课本P181-P182,完成练习 二、预习要点 1.三角形外角的定义 ： 三角形的一边与_____所组成的角，叫做三角形的外角． 2.推论1: 三角形的一个外角等于_____两个内角的和. 3.推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它_____的内角. 三、预习检测 1.如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A等于( ) A.60° B.70° C.80° D.90° 2.如图，直线a∥b,则∠ACB=_____. 3.如图，已知CE为△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC＞∠B. 探究案 一、合作探究 活动内容： 在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质． 一、三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角， 结合图形指明外角的特征有三： (1)顶点在三角形的一个顶点上． (2)一条边是三角形的一边． (3)另一条边是三角形某条边的延长线． 二、两个推论及其应用 由学生探讨三角形外角的性质： 问题1：如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？ 问题2：任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？ 在这里,我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一 个基本事实或定理直接推出的定理,叫做这个基本事实或定理的推论. 推论可以当做定理使用. 由学生归纳得出： 推论1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 例2 已知，如图，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．求证：AD∥BC 分析：要证明AD∥BC,只需证明“同位角相等”,即需证明∠DAE=∠B. 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B=∠C（已知） ∴∠B=∠EAC（等式的性质） ∵AD平分∠EAC（已知） ∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义） ∴∠DAE=∠B（等量代换） ∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行） 想一想，还有没有其他的证明方法呢？ 这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证. 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（_____） ∠B=∠C（_____） ∴∠C=∠EAC（_____） ∵AD平分∠EAC（_____） ∴∠DAC=∠EAC（_____） ∴∠DAC=∠C（_____） ∴AD∥BC（_____） 还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证. 证明： 证明过程自行写出. 例3 已知:如图,P是△ABC内一点，连接PB,PC. 求证:∠BPC>∠A. 证明:如图，延长BP,交AC于点D. ∵ ∠BPC是△PDC的一个外角 (外角定义). ∴ ∠BPC>∠PDC (三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角). ∵ ∠PDC是△ABD的一个外角 (外角定义). ∴ ∠PDC>∠A (三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角). 还有其它方法吗？ 二、随堂检测 1.如图，AB∥CD，则下列说法正确的是( ) A.∠3=2∠1+∠2 B.∠3=2∠1-∠2 C.∠3=∠1+∠2 D.∠3=180°-∠1-∠2 2.已知:如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°.求:∠B和∠ACB的大小. 3.已知:国旗上的正五角星形如图所示. 求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 参考答案 预习检测 1.解析：选C.根据三角形外角的性质可得，∠ACD =∠B+∠A，所以∠A=∠ACD -∠B= 120°-40°= 80°. 2.解析：延长BC交直线a于点D， ∵直线a∥b, ∴∠ADC=∠B=50°. ∵∠ACB是△ACD的外角， ∴∠ACB=∠A+∠ADC=28°+50°=78°. 答 ... ...