2013年全国中考数学压轴题分类解析汇编（续69套26专题）专题12：动态几何之面积问题

2013年全国中考数学压轴题分类解析汇编（续69套26专题） 专题12：动态几何之面积问题 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 一、选择题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】 （无） 二、填空题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】 （无） 三、解答题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】 37. （2013年四川泸州12分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，），已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过三点A、B、O（O为原点）． （1）求抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号） 【答案】解：（1）将A（﹣2，0），B（1，），O（0，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c（a≠0），得： ，解得：。 ∴所求抛物线解析式为。 （2）存在。理由如下： 如答图①所示， ∵， ∴抛物线的对称轴为x=﹣1。 ∵点C在对称轴x=﹣1上，△BOC的周长=OB+BC+CO。 ∵OB=2，∴要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小。 ∵点O与点A关于直线x=﹣1对称，有CO=CA， △BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA， ∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小。 设直线AB的解析式为y=kx+t，则有： ，解得：。 ∴直线AB的解析式为。 当x=﹣1时，，∴所求点C的坐标为（﹣1，）。 （3）设P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＜0）， 则 ① 如答图②所示，过点P作PQ⊥y轴于点Q，PG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥PQ轴于点F，过点B作BE⊥PQ轴于点E，则PQ=﹣x，PG=y，由题意可得： 将①代入②得： ， ∴当x= 时，△PAB的面积最大，最大值为。 此时。 ∴点P的坐标为（，）。 38. （2013年四川自贡12分）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°． （1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ； （2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？ （3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值． 【答案】解答：（1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，∴∠B1CQ=∠BCP1=45°。 ∵在△B1CQ和△BCP1中，， ∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）。∴CQ=CP1。 （2）如图，过点P1作P1D⊥CA于D， ∵∠A=30°，∴P1D=AP1=1。 ∵∠P1CD=45°，∴。. ∴CP1=P1D=。 又∵CP1=CQ，∴CQ=。 （3）∵∠P1BE=90°，∠ABC=60°，∴∠A=∠CBE=30°。∴AC=BC 。 由旋转的性质可得：∠ACP1=∠BCE，∴△AP1C∽△BEC。∴AP1：BE=AC：BC=：1。 设AP1=x，则BE=x， 在Rt△ABC中，∠A=30°，∴AB=2BC=2。 ∴。 ∵，∴当x=1时，S△P1BE（max）= 。 【考点】旋转问题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，由实际问题列函数关系式，二次函数最值。 【分析】（1）先判断∠B1CQ=∠BCP1=45°，利用ASA即可证明△B1CQ≌△BCP1，从而得出结论。 （2）过点P1作P1D⊥CA于D，在RtADP1中，求出P1D，在Rt△CDP1中求出CP1，继而可得出CQ的长度。 （3）证明△AP1C∽△BEC，则有AP1：BE=AC：BC=：1，设AP1=x，则BE=x，得出S△P1BE关于x的表达式，利用配方法求最值即可。　 39. （2013年四川自贡14分）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限 ... ...