2013年全国中考数学压轴题分类解析汇编（续69套26专题）专题14：动态几何之四边形存在性问题

2013年全国中考数学压轴题分类解析汇编（续69套26专题） 专题14：动态几何之四边形存在性问题 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 一、选择题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】 （无） 二、填空题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】 （无） 三、解答题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】 7. （2013年四川遂宁12分）如图，抛物线与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D． （1）求抛物线与直线的解析式； （2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作 y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值． 【答案】解：（1）∵经过点A（2，0）和B（0，） ∴，解得。 ∴抛物线的解析式是。 ∵直线经过点A（2，0），∴，解得：。 ∴直线的解析式是。 （2）存在。 设P的坐标是（x，），则M的坐标是（x，）， ∴。 解方程得：或。 ∵点D在第三象限，∴点D的坐标是（﹣8，）。 由令x=0得点C的坐标是（0，）。 ∴。 ∵PM∥y轴，∴要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM=CE，即。 整理得，解这个方程得：x1=－2，x2=－4，符合﹣8＜x＜2。 当x=－2时，； 当x=－4时，。 ∴直线AD上方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，点P的坐标是 （－2，3）和（－4，）。 （3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC=10。 ∴△CDE的周长是24。 ∵PM∥y轴，∵∠PMN=∠DCE。 ∵∠PNM=∠DEC，∴△PMN∽△CDE。 ∴，即。 化简整理得：l与x的函数关系式是：。 ∵＜0，∴l有最大值，当x=－3时，l的最大值是15。 8. （2013年云南昆明9分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求点D的坐标； （3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3）。 设抛物线解析式为， 将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即。 ∴抛物线解析式为即。 （2）设直线AC解析式为（k≠0）， 将A（4，0）与C（0，3）代入得：，解得：。 ∴直线AC解析式为。 与抛物线解析式联立得：，解得：或。 ∴点D坐标为（1，）。 （3）存在，分两种情况考虑： ①当点M在x轴上方时，如图1所示： 四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM=AN， 由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2， ∴N1（2，0），N2（6，0）。 ②当点M在x轴下方时，如图2所示： 过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP， ∴MP=DQ=，NP=AQ=3。 将yM=代入抛物线解析式得： ， 解得：xM=或xM=。 ∴xN=xM－3=或， ∴N3（，0），N4（，0）。 综上所述，满足条件的点N有四个： N1（2，0），N2（6，0），N3（，0），N4（，0）。 【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，分类思想的应用。 【分析】（1）由OA的长度确定出A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式，将A的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；。 （2）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，与抛物线解析式联 ... ...