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课件网) 12.3 角的平分线的性质 下图中，能表示点P到直线l的距离的是 线段PC的长 复习 尺规作角的平分线 A Ｂ Ｏ Ｍ Ｎ Ｃ 画法： １．以Ｏ为圆心，适当长为半径画弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ． ２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径画弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ． ３．画射线ＯＣ． 射线ＯＣ即为所求． A O B 牛 E D 思考？ A O B E D P C 探究图2中角平分线的性质 A O B E D P C 你能用三角形全等证明PD=PE吗？ 探究性质 在∠AOB的平分线OC上任取一点P ，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE的长度，它们相等吗？ 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 角平分线有什么性质？ 猜一猜 角平分线线上的点到角的两边的距离相等。 通过动手实验、观察比较，我们发现“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？ 已知：∠AOC = ∠BOC，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E． 求证：PD =PE． A B O P C D E 证一证 已知：∠AOC= ∠BOC ，点P在OC上，PD⊥OA于D， PE⊥OB于E． 求证: PD=PE． O A B E D P C ∵ PD⊥OA，PE⊥OB 证明： ∴ ∠PDO= ∠PEO= 90° 在△POD 和 △PEO 中 ∴ △PDO ≌△PEO（AAS） ∠ PDO＝∠PEO ∠ AOC＝∠BOC OP=OP ∴ PD＝PE 由角的平分线的性质的证明过程，你能概 括出证明几何命题的一般步骤吗？ （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号 表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途 径，写出证明过程． 归纳 角的平分线的性质的作用是什么？ 主要是用于判断和证明两条线段相等，与以 前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角 形全等． 思考 判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 典例精析 例 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC. A B C D E F 分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF. A B C D E F 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 当堂练习 1、如图所示，在△ABC中，∠C=，BC=40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC：DB=3：5，则点D到AB的距离是_____。 A B C D
