2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破 第30讲　平面向量的概念及线性运算 精品讲义（Word版含答案）

第30讲　平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模)，记作||. (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量. (4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 考点1 平面向量的概念 [名师点睛] 平行向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. (4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量. [典例]　 1．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．长度相等的向量叫做相等向量 C．若，则 D．共线向量是在一条直线上的向量 2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下面的命题正确的有（ ） A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．单位向量都相等 C．若，满足且与同向，则 D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形” [举一反三]　 1．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ） A．若，都是单位向量，则 B．若向量，，则 C．与非零向量共线的单位向量是唯一的 D．已知为非零实数，若，则与共线 2．（2023·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ） A．向量与是相等向量 B．共线的单位向量是相等向量 C．零向量与任一向量共线 D．两平行向量所在直线平行 3．（2023·全国·高三专题练习）设，都是非零向量，成立的充分条件是（ ） A． B． C． D．且 4．（2023·全国·高三专题练习）有下列命题： ①单位向量一定相等； ②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同； ④方向相反的两个单位向量互为相反向量； ⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆． 其中正确的命题的个数为_____． 考点2 向量的线性运算 [名师点睛] 1.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化. (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 2.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值. [典例]　 1．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题： ①若同向，则有； ②与表示的意义相同； ③若不共线，则有； ④恒成立； ⑤对任意两个向量，总有； ⑥若三向量满足，则此三向量围成一个三角形． 其中正确的命题是_____填序号 2．（2022·广东·高三开学考试）在平 ... ...