第三章 空间向量与立体几何 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设,则的中点到的距离为( ) A. B. C. D. 2.在空间直角坐标系中,已知点,则一定是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 3.已知向量,且与互相垂直,则实数的值为( ) A. B. C. D. 4.已知和向量,且,则点的坐标为( ) A. B. C. D. 5.与向量平行的一个向量的坐标是( ) A. B. C. D. 6.若三点共线,则的值为( ) A.0 B.-1 C.1 D.-2 7.已知空间向量,且,则一定共线的三点是( ) A. B. C. D. 8.已知空间向量,且与垂直,则与的夹角为( ) A.60° B.30° C.135° D.45° 9.空间内三点不共线,设,则的面积等于( ) A. B. C. D. 10.已知是标准正交基底,且则的坐标为( ) A. B. C. D. 11.已知在中,,则( ) A. B. C. D. 12.P是棱长为1的正方体的上底面上一点，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.在直三棱柱中,所有的棱长都相等,为的中点,为的中点,则与所成角的余弦值为_____. 14.在平行四边形中,为一条对角线,若,则_____. 15.已知空间向量,则_____. 16.已知点,点满足,则点的坐标是_____. 三、解答题：本题共2小题，每小题10分，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知空间三点. (1)求的面积； (2)求中边上的高. 18.如图，在三棱锥中，,D为BC的中点，平面ABC，垂足O落在线段AD上.已知，，，. （1）求证：； （2）若点M是线段AP上一点，且，求证：平面平面BMC. 答案以及解析 1.答案：C 解析：由题意,知,即,,所以.故选C. 2.答案：C 解析：,,,,一定为直角三角形. 3.答案：D 解析：由已知得,.由与互相垂直,得,得,解得,故选D. 4.答案：D 解析：. 设,则,解得, 即点的坐标为.故选D. 5.答案：B 解析：对于B,,故选B. 6.答案：A 解析：因为,由题意,得,所以,所以,所以. 7.答案：A 解析：,,三点共线,故选A. 8.答案：D 解析：与垂直,, , .. 9.答案：C 解析：如图所示,. 10.答案：A 解析：根据空间向量坐标的定义,知故选A. 11.答案：B 解析：因为四边形是平行四边形,所以.故选B. 12.答案：D 解析：以D为原点，以DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系，如图所示，则，. 设点P的坐标为，由题意可得,，，，， ，当时，取得最小值，最小值为；当或1，且或1时，取得最大值，最大值为0. 故的取值范围是. 故选D. 13.答案： 解析：以为原点,在平面中,过点作的垂线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设直三棱柱中,所有的棱长都为2,则,所以.设与所成的角的大小为,则. 14.答案： 解析：. 15.答案： 解析：. 16.答案： 解析：设为坐标原点.由点满足,得,可得,则点的坐标是. 17.答案：(1)由已知,得, , , , . . (2)设边上的高为, 则,即中边上的高为. 18.答案：（1）如图所示，以O为坐标原点，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则，，，，， 所以,， 所以, 所以，即. （2）易得.又，且点M在线段AP上， 所以. 又， 所以，则， 所以，即. 又因为，， 所以平面BMC，所以平面BMC. 又平面AMC， 所以平面平面BMC. ... ...
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