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课件网) 第2章 圆 2.3 垂径定理 问题：左图中AB为圆O的直径，CD为圆O的弦，与直径AB相交于点E，当弦CD在圆上运动的过程中有没有特殊情况？ 直径AB和弦CD互相垂直 情景引入 E A O D B C 在⊙O中，AB为弦，CD为直径，AB⊥CD 提问：你在圆中还能找到那些相等的量？并证明你猜得的结论。 线段：AE=BE 弧： ＝ ， ＝ 获取新知 E D C O A B 已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。 求证：AE＝BE，＝ ， ＝ 。 证明：连结OA、OB，则OA＝OB. ∴△OAB是等腰三角形. ∵OE⊥AB， ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE ， ∴∠AOC=∠BOC ， ∴ ＝ ， ＝ . C . O A E B D ┗ 垂径定理 1、文字语言 2、符号语言 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. · O A B C D E 垂径定理的逆定理 AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.过点M作直径CD.你能发现图中有哪些等量关系 说说你的想法和理由. ②CD⊥AB, 由① CD是直径 ③ AM=BM 可推得 ④ ＝ , ⑤ ＝ . ●O C D ● M A B ┗ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的本质是: 满足其中任两条，必定同时满足另三条 （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分弦 （4）这条直线平分弦所对的优弧 （5）这条直线平分弦所对的劣弧 知二推三 判断下列图是否是表示垂径定理的图形。 是 不是 是 练一练 例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，求⊙O的直径CD的长。 . A E B O C ┐ 例题讲解 D 解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴ 设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm. x2=42+(x-2)2， ∴ CD=2r=10cm 例2 证明：圆的两条平行弦所夹弧相等． · A B C D O E F 证明: 作直径EF 垂直于弦AB， 由于AB∥CD，因此 EF⊥CD． 从而 即 因此 由于 EF⊥CD 由于EF⊥AB，因此， 已知：如图,圆O 中，弦AB与弦CD 平行． 求证：＝ 例3 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 求证：AC＝BD。 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以AC＝BD. E . A C D B O 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， ┐ 1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是 （ ） A.∠COE=∠DOE B.CE=DE C.OE=AE D.BD=BC ⌒ ⌒ · O A B E C D C 随堂演练 2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm。 · O A B E 解：连接OA，∵ OE⊥AB ∴ ∴ AB=2AE=16cm 16 3．如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于点C，则OC的长为( ) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm B 4．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1 m，水面宽AB＝1.2 m，某天下雨后，水管内水面上升了0.2 m，则此时排水管的水面宽CD＝____m. 1.6 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 两条辅助线：连半径，作弦心距 构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程. 基本图形及变式图形 课后小结 ... ...
