五年级奥数讲义：不定方程整数解习题 五年级奥数讲义：不定方程整数解习题解答 习题七 1.求不定方程3xy的全部整数解。 2.求不定方程30xy的整数解中,使x+y为最小以及最大的两组解。 应用公式n(n+1)nn+1(5),证明 1×22×33×4 99×100100 入x"A 8 求不定方程10xyz的整数解,你能求出全部整数解并证明再没 有别的角吗 6.计算 1×2×32×3×43×4×598×99×100 习题七解答 1111 1.5-10+10=6+30 2.302=2×32×5,为找出它的全部因子,我们这里介绍“字典法则” 20·30·5=1,20·30·5-=5,20·30·5=25, 20·31·5=3 31·51=15,20·31·52=75 20·32·5=9 32·51=45 30·5=2,21·30·51=10,21·30·52=50 ◆31·5=6 21·31·51=30,21·31·5=150 32·5=18,21·32·51=90,21·32·52=45 22·30·5=4,22·30·51=20,22·30·52=100 22·31·5=12,22·31·51=60,22·31·52=300 22·32·536,22·32·51=180,22·32·52=90 大家都知道英语字典排序规则,先有a部,再看笫二个字母的顺序,第二个 字母相同时,看第三个字母的顺序,等等这里因子的幂值正好借用作顺序编 当然上题每个因子恰好是2次幂,如别的也一样,如:23×22×51的因子 字典法排序为 50 排2的有6个 50,20·32·s,「再排21的也有个 23·31·5,23·31·51.最后2的也有6个 共有4×3×2=24个 回到本题,302的27个因子从小到大按方向“+”排序为 456910121518202530 其实只要排出30以下,另一头用30的互补因子即可,和用 少这即知x+=60现在问题转化成求t的最大最小值问题了这里要求小 学生会联想和类比,大家知道等积问题的一种结论:面积固定的长方形中,正 形的周长最小或者两数乘积不变的情况下,两数相等时和最小 现在t·t=30固定,要tt最小,当然是tt=30,所以x+y最小为120 那么x+y最大,也即60t+最大,经前面t,t排成二行的表一看就知为 60+900+1=961。 3按照公式1 可得 n(n+1) 2×3 3×4 3-4’“,99×100-99-100 因此 1×22×33×4 99×100 22334 989999100五年级奥数讲义：不定方程的整数解 第七讲从不定方程1/n=1/x+1/y的整数解谈起 对于形如=+的方程,寻找整数、y使之满足方程,称为求不定方 求不定方程的整数解.这里n是取定的一个自然数对于方程 1) 显见x=y=12是一个整数解.还有没有别的解 如何求解 有人凭直觉能看 出一些解来,但数学要求我们有一个成熟的方法去处理同一类问题 由 两边减去-,得 通分 这里x-6大于0.为了使右端的分数形 6x 6 式更简明,我们不妨把x-6看成一个整体,即令t=x-6,那么x=t+6.因此 6×(6+t)6×6 y +6,由于y是整数,上式右边也是整数,所以 6×6 必须是整数,这样我们推知:t是62的因数(约数)。 由于是求不定方程=-+-的整数解,这样,原先“漫无边际”的找两 个未知数x、y的困难问题,转换成找简单的62的因子t的问题了 个完全平方数的因子必然是奇数个,如6有因子6、1和36,2和18,3和 12,4和9.6称为自补的因子.后面的2和18等都称为互补因子,这样,不妨记 为: t。=6,t1=1,t1=36;t2=2,t2=18;t:=3,t3=12;t:4 =9也即一=t1 6+t,y +6=t+6 的所有解表示成 66+t6 这里t和t1是62=36的互补因子(当t=t=6时自补因子也包括在内) 所以 6=x+的全部整数解为 6-1212(6+66+6 t2=1,t=36,111 6+16+36 t2 6-824’(6+26 t3=3,t 3=12,6-9+18(6+3 6+12) 由于x、y地位对等 的解与 的情况我们都看 成一种了。 以上情况推广到一般情况:求不定方程 (2) y 的整数解,只要找出n2的全部成组互补因子t和t,则 n ntt nt t 就可得到全部解 例如,求不定方程: 12x 即n=12)的整数解,首先分解122=(22·3)2=24·32,它的因子根 据分解式的结构特点可以排成一个表 12 36 144 按照互补或自补因子配对有:(1,144),(2,72),(3,48) 12=2+共有8种解/28E 所以=-+ 因子个数+1 13156’1484’1560’1648 1836’2030’212 ... ...
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