2.3 用公式法求解一元二次方程 同步训练（知识归纳+典例精讲+基础巩固+能力提升+素养拓展）

中小学教育资源及组卷应用平台 第13课时 用公式法求解一元二次方程 知识归纳 1.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是 。这个式子称为一元二次方程的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法． 2.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，①当b2-4ac>0时，方程有 的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个 的实数根；③当b2-4ac<0时，方程 实数根． 3. 把 叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示． 典例精讲 考点1：用公式法解一元二次方程 例1．解一元二次方程：3x2﹣3x＝x+1． 【解答】解：整理，得：3x2﹣4x﹣1＝0， ∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0， 则x＝＝，∴x1＝，x2＝． 1．解下列方程： （1）3x2﹣6x﹣2＝0； （2）5x2﹣3x﹣1＝0． 考点2：一元二次方程根的判别式 例2．一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【解答】解：∵Δ＝12﹣4×1×（﹣3）＝1+12＝13＞0， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根．故选D． 2．不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2x2+3x﹣4＝0； （2）ax2+bx＝0（a≠0）． 考点3：利用根的情况求字母的值或取值范围 例3．关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有两个不相等的实数根，且m为非负整数，求m的值及此时方程的根． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（2m﹣1）＞0，解得m＜1， ∵m为非负整数，∴m＝0． ∴方程为x2﹣2x﹣1＝0，解得方程的根为x1＝1+，x2＝1﹣． 3．已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A．a＞2 B．a≤2 C．a＜2且a≠1 D．a＜﹣2 4．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根小于2，求k的取值范围． 基础巩固 1．已知关于x的一元二次方程3x2+（m+3）x+m＝0总有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≥3 B．m≠3 C．m＞3且m≠0 D．m＞3 2．一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0的根的情况是（　　） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 3．解方程： （1）3x2﹣4x﹣1＝0； （2）3x2﹣2＝4x； （3）x2+x+1＝0． 4．若关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　 　． 5．求证：无论m取何值时，方程（x﹣3）（x+2）﹣m2＝0总有两个不相等的实数根． 6．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x﹣2＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）k取符合条件的最小整数时，求此方程的根． 能力提升 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝a（a＜2），BC＝2．以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点F．下列线段的长度是方程x2+2ax﹣4＝0的一个根的是（　　） A．线段AE的长 B．线段BF的长 C．线段BD的长 D．线段DF的长 8．解方程： （1）x2﹣3x﹣5＝0； （2）3x2﹣4x﹣2＝0； （3）x2﹣2x﹣3＝0； （4）x2﹣4x＝2x﹣9． 9．若k为整数，关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2（k+1）x+k+5＝0有实数根，则整数k的最大值为　 　． 10．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+1）x+m+2＝0． （1）若这个方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）当m为何值时，这个一元二次方程有一个根为﹣1． 11．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0． （1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长为6，另两边恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 素养拓展 12．已知和都有意义，且a是整数，试解关于x的一元二次方程x2 ... ...