一、单选题 1．已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．如图所示，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么（ ）． A． B． C． D．与不能比较大小 3．如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，若G是的中点，，，则三棱锥的外接球的表面积是（ ） A．6π B．10π C．8π D．12π 4．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）． A．1 B．2 C．4 D．8 5．已知，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 6．已知为坐标原点，向量，点，.若点在直线上，且，则点的坐标为（ ）. A． B． C． D． 二、多选题 7．正方体的棱长为1，E，F，G分别为BC，，的中点.则正确的是( ) A． B．存在实数，使得 C．在正方体各面对角线中与直线所成的角为60°的有8条 D．点C与点G到平面AEF的距离相等 8．（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A．若可以构成空间的一组基，向量与共线，，则也可以构成空间的一组基 B．已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一组基 C．已知，，，是空间中的四点，若，，不能构成空间的一组基，则，，，四点共面 D．已知是空间的一组基，若，则不是空间的一组基 三、填空题 9．已知向量，，若，则可以为_____． 10．已知向量，，，且，则=_____. 11．四面体OABC的所有棱长都等于，E，F，G分别为OA，OC，BC中点，则_____. 12．如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点A，，的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是_____ （写出所有正确命题的编号）． ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S与的交点满足； ④当时，S为六边形 四、解答题 13．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点. (1)求证：； (2)求与所成角的余弦值. 14．如图（1）所示，在中，，，，分是，的中点.将沿折起，使到的位置且二面角的平面角为60°，如图（2）所示. 图（1） 图（2） （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值. 15．为四棱锥的棱的三等分点，且.点在上，，四边形为平行四边形．若四点共面，求实数的值． 16．如图所示，在直二面角中，四边形是边长为的正方形，，为上的点，且平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 参考答案： 1．C 【分析】利用向量表示出点Q坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解. 【详解】因点Q在直线上运动，则，有，于是有， 因此，，， 于是得， 则当时，，此时，点Q， 所以当取得最小值时，点Q的坐标为. 故选：C 2．C 【分析】由题设易得，且，应用向量数量积的运算律化简，进而比较它们的大小关系. 【详解】∵E是BC的中点，， ∴，即． 不妨设空间四边形的各边和对角线长均为1，又，，两两之间的夹角均为60°， ∴． 故． 故选：C 3．C 【分析】利用已知结合数量积的运算求解，可得为直角三角形，再由为直角三角形，可知为三棱锥的外接球的直径，再由球的表面积公式得答案． 【详解】解：，， ， 又、、两两相互垂直， ，即， ，， ，则为直角三角形， 又为直角三角形，为三棱锥的外接球的直径， 则三棱锥的外接球的表面积． 故选：C． 4．A 【分析】可根据图象得出，然后将转化为，最后根据棱长为及即可得出结果. 【详解】由图象可知，， 则， 因为棱长为，， 所以，， 即的不同值的个数为， 故选：A 5．D 【分析】构造正方体，设正方体的棱长为1，,点在线段上移动.当在位置时，最大，利用向量的夹角公式即得解. 【详解】利用作图法，构造正方体，设正方体的棱长为1，如图所示. 则，，且 ... ...
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