2022-2023学年北京课改版数学九年级上册第十九章二次函数与反比例函数一 二次函数 解答专练 （原卷+解析卷）

一 二次函数 — 解答专练 — > > > 精品解析 < < < 1、如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB，OD在x轴上，已知点A（2，4），过点A，C两点的直线分别交x轴、y轴于点E，F，抛物线y＝ax2+bx+c经过O，A，C三点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）点G为抛物线上位于线段OC所在直线上方部分的一动点，求点G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标； （3）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM的边AM与BP相等？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． ［思路分析］（1）根据Rt△AOB≌Rt△OCD，可得出C（4，2），再运用待定系数法即可求得答案； （2）如图1，连接GO，GC，过G点作x轴的垂线交OC于点K，GH⊥OC于点H．设G点的横坐标为m（0＜m＜4），则G（m，﹣）．运用待定系数法求出直线OC的解析式为y＝x，得出GK＝﹣m2+3m，进而得出S△GOC＝﹣（m﹣2）2+6， 运用二次函数的性质可求得答案； （3）如图所示，过点M作MR⊥AB于点R，过点P作PT⊥AB于点T，先证明Rt△AMR≌Rt△BPT（HL），得出AR＝BT，设点M的横坐标为t（0＜t＜4），则M（t，﹣），P（t，），进而可得：AR＝|4﹣（﹣t2+t）|，BT＝t，建立方程求解即可． ［答案详解］解：（1）∵A（2，4）， ∴OB＝2，AB＝4， ∵Rt△AOB≌Rt△OCD， ∴OD＝AB＝4，CD＝OB＝2， ∴C（4，2）， ∵抛物线y＝ax2+bx+c经过O，A，C三点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x； （2）如图1，连接GO，GC，过G点作x轴的垂线交OC于点K，GH⊥OC于点H． 令G点的横坐标为m（0＜m＜4），则G（m，﹣）． 设直线OC的解析式为y＝kx，把C（4，2），代入得：4k＝2， 解得：k＝， ∴直线OC的解析式为y＝x， ∴K（m，）， ∴GK＝﹣m2+m﹣m＝﹣m2+3m， ∴S△GOC＝S△GOK+S△GKC ＝×（﹣m2+3m） ＝﹣6m ＝﹣（m﹣2）2+6， ∴当m＝2时，S△GOC的值最大为6，此时GH的值为最大， ∵OC＝＝2， ∴2GH＝6， ∴GH＝， ∴G点到直线OC的最大距离为，此时G（2，4）； （3）存在．如图所示，过点M作MR⊥AB于点R，过点P作PT⊥AB于点T， ∴∠ARM＝∠MRT＝∠PTR＝∠BTP＝90°， ∴MR∥PT， 由题意：MN∥AB， ∴四边形MPTR是矩形， ∴MR＝PT， ∵AM＝BP， ∴Rt△AMR≌Rt△BPT（HL）， ∴AR＝BT， 设点M的横坐标为t（0＜t＜4），则M（t，﹣）． 由（2）知：直线OC的解析式为y＝x，则P（t，）， ∴AR＝|4﹣（﹣t2+t）|，BT＝t， ∴|4﹣（﹣t2+t）|＝t， 当＝t时，解得：t1＝，t2＝4（舍）， 当＝t时，无实数解． ∴t＝，此时P（，）， ∴P点的坐标为（，）． ［经验总结］本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等，本题涉及的知识点较多，难度较大，对学生的能力要求较高，有利于训练并提升学生解决复杂问题的能力． 2、如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点． （1）求抛物线及直线BC的函数表达式； （2）直线y＝kx（k＞0）交线段BC于点H，若以点O，B，H为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值； （3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ［思路分析］（1）用待定系数法即可求解； （2）先研究△ABC，可得出AB＝6，BC＝4，∠ABC＝45°；若△OBH与△ABC相似，则分两种情况：①当∠HOB＝∠CAB时；②当∠HOB＝∠ACB时，再根据相似三角形的性质求解即可； （3）①当点Q在 ... ...