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课件网) 垂直于弦的直径 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点） 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？ 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？ 可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上. 证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O 上点C，D以外的任意一点. 过点A作AA′⊥CD，交 ⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′. 在△OAA′中， ∵ OA=OA′ ∴ △OAA′是等腰三角形 又∵AA′⊥CD ∴ AM=MA′ 即CD是AA′的垂直平分线 这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称. 圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 从前面的证明我们知道，如果⊙O的直径CD垂直于弦AA′，垂足为M，那么点A和点A′是对称点.把圆沿着直径CD折叠时，点A与点A′重合，AM与A′M重合， ， 分别与 ， 重合. 因此，AM=A′M， ， 即直径CD平分弦AA′，并且平分 ， . 这样，我们就得到垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 垂径定理的几个基本图形： 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 举例证明其中一种组合方法 已知:_____;求证:_____. ①CD是直径 ②CD⊥AB，垂足为E ③AE=BE ④AC=BC ⑤AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ① ③ ② ④ ⑤ 由垂径定理可得AC =BC， AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明：连接AO,BO,则AO=BO, 又∵AE=BE， ∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. 进一步，我们还可以得到推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 例1.赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？ 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R. ⌒ ⌒ 经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高. ⌒ ⌒ 由题设可知，AB=37m，CD=7.23m 所以，AD=AB=×37=18.5(m)，OD=OC-CD=R-7.23 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 即 R2=18.52+(R-7.23)2 解得 R≈27.3(m) 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m 如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10cm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8cm，则这个小圆孔的宽口AB的长度为多少？ 解：过点作于点，并延长交于点，如图， 则由题意得 又， ， 在Rt中， 例2.☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm ... ...
