绝对值的相关应用 一、 课堂目标 1．理解绝对值与平方的非负性，利用非负性求字母的值或式子的最值． 2．运用绝对值的代数意义化简绝对值． 3．运用绝对值的几何意义，表示数轴上两点之间的距离，并能够解决多个绝对值和的最小值问题． 【备注】【目标解读】 a.关联知识：有理数是整个初中数学知识的基础，有理数的概念及运算，直接影响后期式 的运算、方程运算、函数运算的学习． b.本讲解读： 本讲重点内容是绝对值的性质和化简，本讲难点是绝对值与最值问题． c.能力素养：培养学生数感、运算能力． 二、 知识讲解 1. 绝对值的非负性 1．任何数的绝对值都大于等于 ，即 ，也就是说绝对值具有 “ 非负性 ”． 2．任何数的平方都大于等于 ，即 ，也就是说平方具有 “ 非负性 ”． 【拓展】任何数的偶次方都是非负的，即 （其中 为偶数）． 3．非负性的常见考法 ① 如果 ，则 ， ． ② 如果 与 互为相反数（也即 ），则 ， ． 经典例题1 已知 ，则 的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵ ， ∴ ， ∴ ． 1 故答案为 ． 【标注】【知识点】绝对值的非负性 思路梳理 知识点： 1、 2、 3、 题目练习1 1. 如果 ，下列成立的是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 即 可得 ，故选 . 【标注】【知识点】绝对值的非负性 2. 若 ，则 的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵ ，则 ，解得： ． 【标注】【知识点】绝对值的代数意义 经典例题2 若 ，求 的值． 【备注】【教学建议】 方法一：∵绝对值具有非负性，∴等号左边所有式子的和肯定≥0，所以说明 ，因此可 以直接化简，再利用0+0=0进行解题，就是答案中的解题过程． 2 方法二：进行分类讨论 ①当 时， 化简为： ∴ ②当 时， 化简为： ， 根据非负性可知不成立． 【答案】 【解析】∵ ， ∴ ， 则 ， ， 解得： ， ， 则原式 ． 【标注】【知识点】绝对值的非负性 思路梳理 知识点： 1、 2、 3、 题目练习2 若 ，求 的值． 【答案】 ． 【解析】 ， ， ， ， ． 【标注】【知识点】非负性的应用 经典例题3 当 时， 有最 值，是 ． 3 A. ；大； B. ；小； C. ；小； D. ；大； 【答案】A 【解析】当 时， 有最大值，是 ． 【标注】【知识点】利用绝对值求最值 思路梳理 知识点： 1、 2、 3、 题目练习3 有最 值，是 . 【答案】小 ; 【解析】∵ ， ∴ 有最小值 . 【标注】【知识点】利用绝对值求最值 2. 绝对值化简 1．绝对值的代数意义 也可以写成 或 2．绝对值的化简 根据绝对值的代数意义，先判断出绝对值符号里的数的正负，再化为它本身或它的相反数、完成计算． 【重要结论】 4 ① 的相反数是 、 的相反数是 ． ②当 时、有 ， 当 时、有 ． ③ 反之，若 则 ，若 则 ． 【备注】【教学建议】 1．也就是说， 只可能等于 ． 2．这里要强调 ，这是因为 或 作除数、不能为 ． 3．此处可以让学生简单说一下结论③为什么成立，请教师用分类讨论的思路来引导． 经典例题4 1. 若 ，则下列结论正确的是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. 【答案】D 【解析】 ，所以 ． 故选 ． 【标注】【知识点】已知范围化简绝对值 思路梳理 知识点： 1、 2、 3、 2. 若 ， ． 【答案】 【解析】由题可知： ， ， ，原式= ． 【标注】【知识点】已知范围化简绝对值 思路梳理 5 知识点： 1、 2、 3、 3. 若 ，则 ． 【答案】 【解析】因为 ， 所以 ， 原式 ． 【标注】【知识点】绝对值的非负性 思路梳理 知识点： 1、 2、 3、 题目练习4 1. 如图，观察表示 ， 的点在数轴上的位置，化简 的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由数轴可知， 且 ， 且 ， 则 ， ， 所以 ． 故选 ． 【标注】【知识点】结合数轴化简绝对值 6 2. 如果 ，则 ． 【答案】 【 ... ...
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