2023年中考数学压轴题培优案 专题02 半角模型（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案 专题02半角模型 模型1：正方形中的半角模型 模型2：等腰直角三角形中的半角模型 【例1】．（2020·山西晋中·八年级阶段练习）如图所示：已知中,,在内部作分别交于点 [操作]（1）将绕点逆时针旋转,使边与边重合,把旋转后点的对应点记作点,得到,请在图中画出;(不写出画法) [探究]（2）在作图的基础上,连接, 求证： [拓展]（3）写出线段和之间满足的数量关系,并简要说明理由． 【例2】（2022·全国·九年级专题练习）折一折：将正方形纸片ABCD折叠,使边AB、AD都落在对角线AC上,展开得折痕AE、AF,连接EF,如图1． (1)∠EAF＝ °,写出图中两个等腰三角形： （不需要添加字母）； (2)转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转,使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q,连接PQ,如图2．线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为 ； (3)连接正方形对角线BD,若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N,如图3,则 ； (4)剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开,如图4．求证：BM2＋DN2＝MN2． 【例3】（2022·江苏·八年级专题练习）问题情境 在等边△ABC的两边AB,AC上分别有两点M,N,点D为△ABC外一点,且∠MDN＝60°,∠BDC＝120°,BD＝DC． 特例探究 如图1,当DM＝DN时, （1）∠MDB＝　 　度； （2）MN与BM,NC之间的数量关系为　 　； 归纳证明 （3）如图2,当DM≠DN时,在NC的延长线上取点E,使CE＝BM,连接DE,猜想MN与BM,NC之间的数量关系,并加以证明． 拓展应用 （4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　． 【例4】．（2020·全国·九年级专题练习）请阅读下列材料： 已知：如图（1）在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,点D、E分别为线段BC上两动点,若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系： （1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式,直接写出你的猜想； （2）当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图（2）,其它条件不变,（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明； （3）已知：如图（3）,等边三角形ABC中,点D、E在边AB上,且∠DCE＝30°,请你找出一个条件,使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形,并求出此时等腰三角形顶角的度数． 一、解答题 1．（2022·陕西西安·七年级期末）问题背景： 如图1,在四边形ABCD中,,,E、F分别是BC,CD上的点,且∠EAF＝60°,探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G,使DG＝BE,连接AG,先证明,再证明,可得出结论,他的结论应是_____． 实际应用： 如图2,在新修的小区中,有块四边形绿化ABCD,四周修有步行小径,且AB＝AD,∠B＋∠D＝180°,在小径BC,CD上各修一凉亭E,F,在凉亭E与F之间有一池塘,不能直接到达,经测量得,BE＝10米,DF＝15米,试求两凉亭之间的距离EF． 2．（2022·河北邢台·九年级期末）学完旋转这一章,老师给同学们出了这样一道题： “如图1,在正方形ABCD中,∠EAF＝45°,求证：EF＝BE＋DF．” 小明同学的思路：∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝AD,∠B＝∠ADC＝90°． 把△ABE绕点A逆时针旋转到的位置,然后证明,从而可得． ,从而使问题得证． (1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题： 如图2,在四边形ABCD中,AB＝AD,∠B＝∠D＝90°,,直接写出EF,BE,DF之间的数量关系． (2)【应用】如图3,在四边形ABCD中,AB＝AD,∠B＋∠D＝180°,,求证：EF＝BE＋DF． (3)【知识迁移】如图4,四边形ABPC是的内接四边形,BC是直径,AB＝AC,请直接写出PB＋PC与AP的关系． 3．（2021·重庆·九年级专题练习）将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合,正方形ABCD固定不动,然后将三角板绕着点A旋转,∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC ... ...