解直角三角形 ※教学目标※ 【知识与技能】? 1.进一步理解锐角三角函数的定义，知道特殊角的三角函数值，能够根据某一个三角函数值，熟练求出其他两个三角函数值.? 2.进一步扎实掌握同一个锐角三角函数之间的关系和互余两角三角函数之间的关系，并能利用它们进行计算或证明.? 3.能熟练根据直角三角形的边角关系解直角三角形，并能运用这些关系解决一些应用问题.? 4.进一步了解仰角、俯角、坡度、坡角等概念，能熟练利用解直角三角形的知识去解决实际问题.? 【教学重点】? 锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，解直角三角形及解直角三角形的应用.? 【教学难点】? 同角三角函数之间的关系以及互余两角三角函数之间的关系，解直角三角形在实际中的应用及辅助线的添加方法. ※教学过程※ 一、知识体系图解? 二、知识专题复习? 专题一 求锐角三角函数值 【例1】 如图，在?△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=14，AD=12，?sinB=.? 求：（1）线段DC的长；? （2）tan∠EDC的值.?? 分析：（1）要求DC的长，先求BD的长，再根据DC=BC-BD来求； （2）DE为AC中线，则DE=EC，故∠EDC=∠C，?tan∠EDC=tanC.? 解：（1）在Rt△BDA中，? ∵∠BDA=90°，AD=12，?sinB=,? ∴AB=15,BD==9,? ∴DC=BC-BD=5.?? (2)在Rt△ADC中，∠ADC=90°，tanC=.? ∵DE是Rt△ADC斜边AC上的中线，? ∴DE=AC=EC.? ∴∠EDC=∠C.? ∴?tan∠EDC=tanC=.? 【归纳拓展】? 求一个锐角的三角函数值，就是根据三角函数的定义，在直角三角形中，求相应两边的比，当这个角不在某个直角三角形中时，可利用等角转换的方法，求某个直角三角形中和这个角相等的角的相应三角函数值，也可通过作辅助线构造直角三角形解，当这个角是特殊角时，直接写出即可.? 【练习】? 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB,AD=CD，cosB=,BC=26. 求：（1）cos∠DAC的值；? （2）线段AD的长.?? 答案：（1） （2）13? 专题二 解直角三角形的应用? 【例2】某市准备在相距2千米的A、B两工厂间修一条笔直的公路，但在B地北偏东60°方向、A地北偏西45°方向的C处，有一半径为0.6千米的住宅小区，如图，问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：≈1.41,≈1.73) 分析：这是一道说理题，要通过计算作出说明.居民是否搬迁，就是看点C到直线AB的距离与0.6的关系，所以求出点C到AB的距离是解题的关键，为此需要作CD⊥AB于D. 解：过点C作CD⊥AB于D，? ∴AD=CD·tan45°=CD,BD=CD·tan60°=CD.?? ∵BD+AD=AB=2,即CD+CD=2,? ∴CD=≈1.73-1=0.73>0.6.? 答：修的公路不会穿越小区，故该小区居民不需搬迁.?? 【归纳拓展】? 解直角三角形的应用就是把实际问题转化为数学问题，在解直角三角形的应用题时，大部分问题都可转化为以下两个基本图形.? 【练习】? 青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃.如图，一天，灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处的俯角为60°,然后下到城堡的C处，测得B处的俯角为30°.已知AC=40米，?若灰太狼以5m/s的速度从城堡底部D处出处，几秒钟后能抓到懒羊羊？（结果精确到个位）? 答案：t=?≈7(s).? 专题三 方程思想? 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=,D是BC上一点，DE⊥AB于E，CD=DE，AC+CD=9，求BE、CE的长.?? 分析：由sinB=,可设DE=CD=3k,DB=5k,则BC=8k，AC=6k,AB=10k,再由AC+CD=9,可列出以k为未知数的方程，进而求出各边长.在Rt△BDE中，由勾股定理求BE的长.过C作CF⊥AB于F，再用勾股定理求CE的长.?? 解：∵sinB=,? ∠ACB=90°,DE⊥AB,? ∴sinB=.? 设DE=CD=3k,则DB=5k.? ∴CB=8k,∴AC=6k,AB=10k.? ∵AC+CD=9,∴6k+3k=9,∴k=1.? 在Rt△BDE中，DE=3，DB=5，∴BE=4.? 过C作CF⊥AB于F，则CF∥DE，? ∴,求得CF=,BF=,? ∴EF= ... ...
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