第11讲 反比例函数 考纲要求 命题趋势 1．理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式．2．会画反比例函数图象，根据图象和解析式探索并理解其基本性质．3．能用反比例函数解决简单实际问题. 反比例函数是中考命题热点之一，主要考查反比例函数的图象、性质及解析式的确定，也经常与一次函数、二次函数及几何图形等知识综合考查．考查形式以选择题、填空题为主. 知识梳理 一、反比例函数的概念 一般地，形如_____(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数． 1．反比例函数y＝中的是一个分式，所以自变量_____，函数与x轴、y轴无交点． 2．反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k. 二、反比例函数的图象与性质 1．图象 反比例函数的图象是双曲线． 2．性质 (1)当k＞0时，双曲线的两支分别在_____象限，在每一个象限内，y随x的增大而_____；当k＜0时，双曲线的两支分别在_____象限，在每一个象限内，y随x的增大而_____．注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交．(2)双曲线是轴对称图形，直线y＝x或y＝－x是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对称中心是坐标原点． 三、反比例函数的应用 1．利用待定系数法确定反比例函数解析式 由于反比例函数y＝中只有一个待定系数，因此只要[] 一对对应的x，y值，或已知其图象上一个_____的坐标即可求出k，进而确定反比例函数的解析式． 2．反比例函数的实际应用 解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例关系的两个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决． 自主测试 1．如图，是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是( ) A．y＝x2 B．y＝ C．y＝－ D．y＝x 2．已知点P(－1,4)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k的值是( ) A．－ B． C．4 D．－4 3．若点A(1，y1)，B(2，y2)是双曲线y＝上的点，则y1_____y2(填“＞”“＜”或“＝”)． 考点一、反比例函数的图象与性质 【例1】反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则m的取值范围是_____． 解析：∵函数的图象在第一、三象限，∴m－1＞0，∴m＞1.[] 答案：m＞1 方法总结 1．.由于双曲线自变量的取值范围是x≠0的实数，故其性质强调在每个象限内y随x的变化而变化的情况． 2．反比例函数图象的分布取决于k的符号，当k＞0时，图象在第一、三象限，当k＜0时，图象在第二、四象限． 触类旁通1 若双曲线y＝的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是_____． 考点二、反比例函数解析式的确定 【例2】如图，直线y＝2x与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为A，AB垂直于x轴，垂足为B，已知OB＝1，求点A的坐标和这个反比例函数的解析式． 解：∵AB垂直x轴于点B，OB＝1，且点A在第一象限，∴点A的横坐标为1.又∵直线y＝2x的图象经过A，∴y＝2x＝2×1＝2，即点A的坐标为(1,2)． ∵y＝的图象过点A(1,2)，∴2＝.∴k＝2. ∴这个反比例函数的解析式为y＝. 方法总结 反比例函数只有一个基本量k，故只需一个条件即可确定反比例函数．这个条件可以是图象上一点的坐标，也可以是x，y的一对对应值． 触类旁通2 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－2x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A(－1，n)． (1)求反比例函数y＝的解析式； (2)若P是坐标轴上一点，且满足PA＝OA，直接写出点P的坐标．[] 考点三、反比例函数的比例系数k的几何意义 【例3】已知点P在函数y＝(x＞0)的图象上，PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足分别为A，B，则矩形OAPB的面积为_____． 解析：矩形OAPB的面积等于|xy|＝|k|＝2. 答案：2 方法总结 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|；过双曲线上任意一点与原点所连 ... ...
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