【备战2014中考数学专题汇编】专题46：高频考点剖析之动态几何之线动问题

【备战2014中考数学专题汇编】 专题46：高频考点剖析之动态几何之线动问题 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 【备战2014中考数学专题汇编】系列由江苏泰州锦元数学工作室精心编辑，在对全国2013年170套中考数学试卷解析的基础上分若干专题对基本解题方法进行归纳探讨。汇编分三个单元52专题：第一单元：客观性试题解法探讨（2专题），第二单元：数学思想方法探讨（9专题），第三单元：高频考点剖析（41专题）。 从12专题开始，我们针对中考数学中的热门考点，分41个专题进行探讨。 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究，在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（滚动）等，就问题类型而言，有最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 42～44专题，我们从运动对象的角度对轴对称（翻折）、平移、旋转（滚动）问题进行了探讨， 45～47专题我们从运动对象的角度对点动、线动、面动问题进行探讨。 线动问题就是在一些基本几何图形上，设计一个动线（包括平移和旋转），或由点动、面动形成线动，并对线在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。 结合2013年全国各地中考的实例，我们从五方面进行动态几何之线动问题的探讨：（1）三角形中的线动问题；（2）四边形中的线动问题；（3）圆中的线动问题；（4）平面直角坐标系中的直线的线动问题；（5）平面直角坐标系中曲线的线动问题。 一、三角形中的线动问题： 典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究 例1：（2013年湖北鄂州3分）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为　　▲　　cm． 【答案】10。 【考点】动线问题，直角三角形斜边上的中线性质。 【分析】如图，连接OP， ∵△AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点， ∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP=AB。 ∵AB=20cm， ∴OP=10cm。 例2：（2013年北京市7分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60° 得到线段BD。 （1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）； （2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值。 【答案】解：（1）。 （2）△ABE为等边三角形。证明如下： 连接AD，CD，ED， ∵线段BC绕点B逆时针旋转得到线段BD， ∴BC=BD，∠DBC=60°。 又∵∠ABE=60°， ∴且△BCD为等边三角形。 在△ABD与△ACD中，∵AB=AC，AD=AD，BD=CD， ∴△ABD≌△ACD（SSS）。∴。 ∵∠BCE=150°，∴。∴。 在△ABD和△EBC中，∵，，BC=BD， ∴△ABD≌△EBC（AAS）。∴AB=BE。 ∴△ABE为等边三角形。 （3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴。 又∵∠DEC=45°，∴△DCE为等腰直角三角形。 ∴DC=CE=BC。 ∵∠BCE=150°，∴。 而。∴。 【考点】旋转问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判 ... ...