【备战2014中考数学专题汇编】专题48：高频考点剖析之动态几何之最值问题

【备战2014中考数学专题汇编】 专题48：高频考点剖析之动态几何之最值问题 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 【备战2014中考数学专题汇编】系列由江苏泰州锦元数学工作室精心编辑，在对全国2013年170套中考数学试卷解析的基础上分若干专题对基本解题方法进行归纳探讨。汇编分三个单元52专题：第一单元：客观性试题解法探讨（2专题），第二单元：数学思想方法探讨（9专题），第三单元：高频考点剖析（41专题）。 从12专题开始，我们针对中考数学中的热门考点，分41个专题进行探讨。 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究，在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（滚动）等，就问题类型而言，有最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 42～44专题，我们从运动对象的角度对轴对称（翻折）、平移、旋转（滚动）问题进行了探讨， 45～47专题我们从运动对象的角度对点动、线动、面动问题进行了探讨，48～52讲我们从问题类型的角度对最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题进行探讨。 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，或某几何量取得最值时，求其他几何量的值，称为最值问题。 解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过2013年全国各地中考的实例探讨其解法。 一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值： 典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究 例1：（2013年湖北咸宁3分）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为　 ▲ 　． 【答案】。 【考点】单动点问题，等腰直角三角形的性质，切线的性质，勾股定理。 【分析】连接OP、OQ， ∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ。 根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2， ∴当PO⊥AB时，线段PQ最短。此时， ∵在Rt△AOB中，OA=OB=，∴AB=OA=6。 ∴OP=AB=3。 ∴。 例2：（2013年湖北武汉3分）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ▲ ． 【答案】。 【考点】双动点问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，三角形的三边关系。 【分析】在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG， 在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）。 ∴∠1=∠2。 在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS）。 ∴∠2=∠3。∴∠1=∠3。 ∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°。∴∠AHB=180°－90°=90°。 如图，取AB的中点O，连接OH、OD， 则根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得OH=AO=AB=1。 在Rt△AOD中，， 根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小。 最小值=。 例3：（2013年江苏宿迁3分）在平面直角坐标系x ... ...