专项素养综合全练(三) 与代数式有关的规律探究题 类型一 探索数(式)的变化规律 1.(2022湖南永州期末)观察下列一组数:-2,,…,它们是按照一定规律排列的,那么这组数的第n个数是( ) A. 2.(2022福建福州仓山期末)设一列数a1,a2,a3,…,a2 022,…中任意三个相邻的数之和都相等,已知a2=x,a99=2+x,a2 021=6-x,那么a2 022的值是( ) A.3 B.5 C.10 D.12 3.(2022广东广州天河期末)观察下列三行数,并完成填空: ①-2,4,-8,16,-32,64,… ②1,-2,4,-8,16,-32,… ③0,-3,3,-9,15,-33,… 第①行数按一定规律排列,第2 022个数是 ;若取每行数的第 2 022个数,计算这三个数的和为 . 类型二 探索图形的变化规律 4.(2022河南郑州外国语学校期末)找出以下图形变化的规律,则第 2 022个图形中灰色正方形的数量是 ( ) A.3 030 B.3 031 C.3 032 D.3 033 5.(2022江苏南京秦淮期末)在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案”形成的演示案例:作一个正方形,设其边长为4a,将每边四等分,作一凸一凹的两个边长为a的小正方形,得到图形如图(2)所示,称为第一次变化,再对图(2)的每个边进行相同的操作,得到图形如图(3),称为第二次变化,如此连续作几次,便可得到一个绚丽多彩的雪花图案.如不断发展下去,到第n次变化时,图形的面积和周长分别为( ) A.16a2和2n+3a B.16a2和2n+4a C.32a2和2n+3a D.32a2和4na 类型三 探索等式的变化规律 6.请观察如图所示的点阵图和相应的等式,探究其中的规律. (1)分别写出④、⑤相应的等式; (2)通过猜想写出与第n个点阵图相对应的等式. 答案全解全析 1.C 这组数:-2,,…,变形得-,…,发现变形后的这组数的分母依次是1,3,5,7,9,…,分子依次是(-2)1,(-2)2,(-2)3, (-2)4,(-2)5,…,∴第n个数是,故选C. 2.B ∵a1,a2,a3,…,a2 022,…中任意三个相邻的数之和都相等,∴以a1,a2,a3这三个数为一个循环,∴a99=a3,a2 021=a2,a2 022=a3,∵a2=x,a99=2+x,a2 021=6-x,∴6-x=x,∴x=3,∴a2 022=a3=a99=5,故选B. 3.22 022;-1 解析 由①-2,4,-8,16,-32,64,…可得第n个数是(-2)n,∴第2 022个数是(-2)2 022=22 022.由②1,-2,4,-8,16,-32,…可得第n个数是(-2)n-1,∴第 2 022个数是-22 021.由③0,-3,3,-9,15,-33,…可得③的每一个数是②的对应数减去1,∴第n个数是(-2)n-1-1,∴第2 022个数是-22 021-1,∴22 022- 22 021-22 021-1=-1. 4.D 观察题图可知: 第1个图形中灰色正方形的个数是2, 第2个图形中灰色正方形的个数是3, 第3个图形中灰色正方形的个数是5, …… 发现规律: 当n为偶数时,第n个图形中灰色正方形的个数是n+n; 当n为奇数时,第n个图形中灰色正方形的个数是n+, ∴第2 022个图形中灰色正方形的个数是2 022+×2 022=3033,故选D. 5.B 从第一次变化到第n次变化,图形的周长依次为32a,64a,…,2n+4a, 所以第n次变化时,图形的周长为2n+4a. 图形进行变化时,每增加一个小正方形的同时又减少一个相同的小正方形,即图形的面积不变,是一个定值16a2. 6.解析 (1)观察题图得到④中点的个数为1+3+5+7=16,则④相应的等式为1+3+5+7=42.同理可得⑤相应的等式为1+3+5+7+9=52. (2)依题意得,第n个点阵图中点的个数为n2,它等于从1开始的n个连续奇数的和,于是得到第n个点阵图相应的等式为1+3+5+7+…+(2n-1)=n2. ... ...
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