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课件网) 2022-2023学年九年级数学下册同步精品课堂（沪教版） 第 27 章 圆与正多边形 27.2圆心角、弧 弦、弦心距之间的关系（第2课时） 学习目标 1、掌握圆心角定义，理解并掌握圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系 2、理解并掌握圆心角的度数与它所对的弧的度数之间的关系。 3、能利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决有关的证明与计算问题。 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理是什么 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等，所对的弦的弦心距相等. 如图，在同圆中，如果∠AOB＝∠COD，可得到哪些结论？ AB＝CD OE＝OF 复习引入 问题1：如图：如果 能否得到 ∠AOB＝∠COD？ 弧长公式： 设∠AOB= ，∠COD= ，半径的长为r，则 弧AB的长= ，弧CD的长= ， ∵ ∴ = ∴ ,即∠AOB＝∠COD. ？ ？ 同圆中，如果弧相等，所对的圆心角相等. 新知探究 问题2：如图，同圆中，若AB＝CD，能否得到 ∠AOB＝ ∠COD？ ？ ？ 证明△OAB △OCD 由题意可得，半径OA=OB=OC=OD， 且AB＝CD 则△AOB △COD， ∴∠AOB＝∠COD OA=OB=OC=OD 同圆中，如果弦相等，所对的圆心角相等. ∵OE=OF ，OB=OC 问题3：如图，同圆中，若OE、OF分别是弦AB、CD的弦心距，且OE＝OF ，能否得到∠AOB＝∠COD？ ？ ？ 又OE⊥AB,OF⊥CD ∴Rt△BOE Rt△COF ∴∠BOE＝∠COF， 又∵OA=OB，OC=OD 根据等腰三角形的三线合一的性质，可得∠AOB＝∠COD. 同圆中，如果弦心距相等，所对的圆心角相等. 通过上面三个小题的探究，我们可以得到怎样的结论？ 图1：如果弧相等，所对的圆心角相等. 图2：如果弦相等，所对的圆心角相等. 图3：如果弦心距相等，所对的圆心角相等. 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理: 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. 在同圆或等圆中， 如果弧相等，弧所对的圆心角相等. 如果弦相等，弦所对的圆心角相等. 如果弦心距相等，弦心距所对弦的圆心角相等. 上面三个小题得到推论： 猜测圆心角、弧、弦、弦心距之间还存在哪些关系？ 圆心角、弧、弦、弦心距之间的推论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条劣弧（或优弧），两条弦，两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等 . 以上四个等式中，由任一个等式成立，可得出另三个成立. 例如：由 ① ∠AOB＝∠COD ① ∠AOB＝∠COD ② AB＝CD ③ ④ OE⊥AB,OF⊥CD，且OE＝OF. 例如：由 ② AB＝CD ③ ④ OE⊥AB,OF⊥CD，且OE＝OF. 例1： 如图（3），在⊙O中，弦AB、CD相交于E，OM、 ON分别是弦AB、CD的弦心距，如果OM＝ON，求证： . ∵OM、ON分别是AB、CD的弦心距且OM=ON, ∴ 即 ∴ 同圆或等圆上的两条弧，可像线段的和与差一样作出它们的和与差，并分别用“+”、“———号表达 典例1 例2 已知：如图，在⊙O中， .AB、CD相交于点H.求证：(1)ΔABD≌ΔCDB；(2)OH平分∠AHC. 由推论得到什么？ 弧相等所对的弦心距AD=CB 要证ABD≌ΔCDB 还有什么条件？ 公共边BD 由已知条件还可以得到哪些？ 即 由推论得AB=CD 证明：∵ ∴AD=BC, 即 得 AB=CD, ∵AD=CB,DB=BD,AB=CD， ∴ΔABD≌ΔCDB. 典例2 如何求EO=FO？ 例2 已知：如图，在⊙O中， .AB、CD相交于点H.求证：(1)ΔABD≌ΔCDB；(2)OH平分∠AHC. 如何求证∠AHO=∠CHO？ 利用角平分线性质定理的逆定理，作OE⊥AB、OF⊥CD ， 如果EO=FO则∠AHO=∠CHO 由 得，OE=OF 证明：过点O作OE⊥AB、OF⊥CD，垂足分别为E、F，则OE、OF分别表示AB、CD的弦心距. ∵AB=CD ∴OE=OF ∴点O在∠AHC的平分线上，即OH平分∠AHC. 适时小结： 作弦心距是圆中的常添辅助线. 典例2 课本练习 1. 已知：如图，⊙O的弦AB与CD ... ...
