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课件网) 4.7.1 相似三角形中对应线段的性质 学习目标 新课引入 新知学习 课堂小结 1 2 3 4 1. 明确相似三角形中对应线段与相似比的关系. 2. 能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题． 学习目标 新课引入 还记得相似多边形的对应边、对应角有什么关系吗？ 相似三角形的对应边成比例、对应角相等. 在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？ 如图，小王依据图纸上的△ABC，以 1:2 的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD 和 C′D′ 分别是它们的立柱. (1) △ACD 与△A′C′D′ 相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比. 新知学习 解：(1) △ACD 与△A′C′D′ 相似. 理由是∠A =∠A′，∠ADC =∠A′D′C′. 相似比是 1:2. 如图，小王依据图纸上的△ABC，以 1:2 的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD 和 C′D′ 分别是它们的立柱. (2) 如果 CD = 1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ 解：(2) 由 CD:C′D′ = 1:2，得 C′D′ = 2CD = 3 cm，即模型房的房梁立柱高 3 cm. 如图，已知△ABC∽△A′B′C′， △ABC 与△A′B′C′ 相似比为 k ( k > 0 )，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′；AE 平分∠BAC，A′E′ 平分∠B′A′C′；F，F′ 分别为 BC，B′C′ 的中点. 试探究 AD 与 A′D′ 的比值关系，AE 与 A′E′ 呢？AF 与 A′F′ 呢？ A B C D E A′ B′ C′ D′ E′ F F′ 定理：相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比. 归纳 A B C D E A′ B′ C′ D′ E′ F F′ 符号语言： ∵△ABC∽△A′B′C′， 且AD⊥BC ，A′D′⊥B′C′ ； ∴AD : A′D′ = k. A B C D E A′ B′ C′ D′ E′ F F′ 符号语言： ∵△ABC∽△A′B′C′， 且∠BAE =∠EAC，∠B′A′E′ =∠E′A′C′， ∴AE : A′E′ = k. 符号语言： ∵△ABC∽△A′B′C′， 且 BF = FC，B′F′ = F′C′， ∴AF : A′F′ = k. 温馨提示 这些结论以后在解决问题过程中能作为定理直接用. 如图，已知△ABC∽△A′B′C′ ，△ABC 与△A′B′C′ 的相似比为 k( k >0 )， 点 D，E 在 BC 边上，点 D′，E′ 在 B′C′ 边上 . (1) 若∠BAD = ∠BAC，∠B′A′D′ = ∠B′A′C′，则 等于多少？ 解：由“两角分别相等的两个三角形相似”，可知△ABD∽△A′B′D′，于是 = = k ( k > 0 ). 拓展迁移 如图，已知△ABC∽△A′B′C′ ，△ABC 与△A′B′C′ 的相似比为 k( k >0 )， 点 D，E 在 BC 边上，点 D′，E′ 在 B′C′ 边上 . (2) 若 BE = BC ， B′E′ = B′C′ ，则 等于多少？ 解：由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可知△ABE∽△A′B′E′，于是 = = k ( k > 0 ). 例 如图，AD 是△ABC 的高，点 P，Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形. (1) △ASR 与△ABC 相似吗？为什么？ A B C S R E P D Q 解：△ASR∽△ABC；理由如下： ∵四边形 PQRS 是正方形， ∴RS∥BC. ∴∠ASR =∠B，∠ARS =∠C. ∴△ASR∽△ABC. 例 如图，AD 是△ABC 的高，点 P，Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形. (2) 求正方形 PQRS 的边长. 解：∵△ASR∽△ABC， ∴ = , 设正方形 PQRS 的边长为 x cm，则 AE = ( 40 – x ) cm， ∴ . 解得 x = 24 . 答：正方形 PQRS 的边长为 24 cm. A B C S R E P D Q 1. 若△ABC ∽△A'B'C'，AD、A'D' 分别是△ABC、△A'B'C' 的高，AD:A'D' = 3:4，△A'B'C' 的一条中线 B'E' = 16 cm，则△ABC 的中线 BE = _____cm. 针对训练 12 2. 两个相似三角形的一组对应角平分线的长分别是 2 cm 和 5 cm，求这两个三角形的相似比. ... ...
