数学归纳法

课件150张PPT。2.3.1 数学归纳法问题情境一问题 1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？ 问题 2: 如果{an}是一个等差数列，怎样得到 an=a1+(n-1)d 完全归纳法 不完全归纳法 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 结论一定可靠结论不一定可靠考察全体对象,得到一般结论的推理方法考察部分对象,得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法归纳法问题情境二多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示 ?多米诺骨牌课件演示 如何保证骨牌一一倒下？需要哪些条件？（2）任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则必须保证下一块要相继倒下。（1）第一块骨牌倒下--递推关系；即第k块倒下，则相邻的第k+1块也倒下--奠基；（2）验证前一问题与后一问题有递推关系； （相当于前牌推倒后牌） （1）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌） 问题情境三数学归纳法的概念： 定义：对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0 (n0 ?N*)时命题成立 (归纳奠基） ；2.然后假设当n=k(k?N*，k≥n0)时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立(归纳递推）。 这种证明方法就叫做_____。数学归纳法已知数列{an}的第一项 a1=1, 且(n=1, 2,…), 试归纳出这个数列的通项公式.由此猜想:思考？证明:(1)当n=1时,猜想成立.(2)假设n=k时,猜想成立. 即那么,当n=k+1时即当 n=k+1时猜想也成立.所以对任何n?N*猜想都成立,即例． 已知数列 　 ，计算数列和 S1、S2、S3、S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式， 并用数学归纳法进行证明． 证明：（1）当n＝1时，左边＝S1＝ ，右边＝ ，猜想成立．解析：猜想 　．题型三 归纳、猜想、证明（2）假设当n＝k(k∈N＋)时猜想成立，即 则当n＝k＋1时， 所以，当n＝k＋1时，猜想成立，根据（1）（2）知猜想对任意n∈N＋都成立． 1）明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）； 2）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式； 3）分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项； 4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等； 5）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立： 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：(1)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到 n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学 归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无 效. 证明中的几个注意问题：(2)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时 应根据具体情况而定.(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要 分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什 么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清 应增加的项.∴n=1时等式成立。 ②假设n=k时，命题成立，即那么，当n=k+1时，有即n=k+1时，命题成立。 根据①②问可知，对n∈N＊，等式成立。问题情境一3.某个命题当n=k (k∈N )时成立，可证得当n=k+1时也成立。现在已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（ ） A. n=6时该命题不成立 B. n=6时该命题成立 C. n=4时该命题不成立 D. n=4时该命题成立C六、课后作业： 1、用数学归纳法证明： 在验证时，等式左边的项是（ ） A、B、C、 D、C3、用数学归纳法证明不等式时的过程中，由到时，不等式的左边（ ）A、增加了一项B、增加了一项，又减少了一项C、增加了两项D、增加两项，又减少了一项D课堂练习2：课堂练习1：练习巩固 练习巩固 这就是说，当n=k+1时,命题也成立.没有用上“假设”，故此法不是数学归纳法请修改为数学归纳法证明 ①当n=1时,左边= , ②假设n=k(k∈N*)时原等式成立 ，即此时，原等式成立。 那么n=k+1时,由 ①②知,对一切正整数n,原等式均正确. ... ...