青岛版数学八年级上册2.5 角平分线的性质 同步练习（含解析）

2.5　角平分线的性质 基础过关全练 知识点一　角平分线的性质 1.(2021山东阳谷期中)如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥ AB于点E,S△ABC=15,DE=3,AB=6,则AC的长为(　　) A.4　　　B.5　　　C.6　　　D.7 2.(2021湖南长沙中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC, 交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,若BC=4,DE=1.6,则BD的长为 　　　　. 3.如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点E在BD上,连接AE,CE, DF⊥AE,DG⊥CE,垂足分别是F,G.试说明: (1)△ABE≌△CBE; (2)DF=DG. 知识点二　角平分线的判定 4.如图,已知点P到AE,AD,BC的距离相等,有下列说法:①点P在∠BAC的平分线上;②点P在∠CBE的平分线上;③点P在∠BCD的平分线上;④点P是∠ACB,∠CBE,∠BCD的平分线的交点.其中错误的是(　　) A.①　　　B.②　　　C.③　　　D.④ 5.如图所示,∠A=∠B=90°,P是AB的中点,且DP平分∠ADC,连接PC. (1)试说明CP平分∠BCD; (2)线段PD与PC有怎样的位置关系 请说明理由. 知识点三　用尺规作角的平分线 6.(2022独家原创)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,按以下步骤作图: ①以点B为圆心,任意长为半径作弧,分别交BA、BC于M、N点; ②分别以点M、N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;③作射线BP,交边AC于点D.若AB=10,BC=6,AC=8,则线段CD的长为　　　　. 7.(2022山东曹县期中)如图,已知线段a和∠α,求作△ABC,使AB=a,∠A=∠α,∠B=∠α(使用直尺和圆规,并保留作图痕迹). 能力提升全练 8.(2019浙江湖州中考,8,★★)如图,在四边形ABCD中,∠BCD=90°, BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是(　　) A.24　　 　B.30　　　 C.36　　 　D.42 9.(2021山东诸城期中,12,★★)如图,钝角三角形ABC的面积是15,最长边AB=10,BD平分∠ABC,点M,N分别是BD,BC上的动点,则CM+MN的最小值为(　　) A.4　　　 B.3　　　 C.2.8　　 　D.2.5 10.(2022山东阳谷期末,18,★★)如图,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,若△ABC的周长是20,且OD=3,则△ABC的面积为　　　　. 素养探究全练 11.[逻辑推理]有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法,其方法如下: (1)如图所示,以O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OM、ON于点A、B; (2)以O为圆心,不等于(1)中的半径长为半径画弧,分别交OM、ON于点C、D; (3)连接AD、BC,交点为E; (4)作射线OE,则OE为∠MON的平分线. 你认为他的这种作法正确吗 试说明理由. 答案全解全析 基础过关全练 1.A　作DF⊥AC于F,如图, 因为AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,所以DF=DE=3, 因为S△ABC=S△ABD+S△ACD,所以×3×6+×3AC=15,解得AC=4. 2.2.4 解析　∵∠C=90°,∴BC⊥AC,∵AD平分∠BAC,DE⊥AB, ∴CD=DE=1.6,∴BD=BC-CD=4-1.6=2.4. 3.解析　(1)因为BD平分∠ABC,所以∠ABE=∠CBE, 在△ABE与△CBE中, 所以△ABE≌△CBE(SAS). (2)由(1)得△ABE≌△CBE,所以∠AEB=∠CEB, 所以180°-∠AEB=180°-∠CEB,即∠AED=∠CED, 又因为DF⊥AE,DG⊥EC,所以DF=DG. 4.D　因为点P到AE,AD的距离相等,所以点P在∠BAC的平分线上,①正确;因为点P到AE,BC的距离相等,所以点P在∠CBE的平分线上,②正确;因为点P到AD,BC的距离相等,所以点P在∠BCD的平分线上,③正确;所以点P是∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点,不是∠ACB,∠CBE,∠BCD的平分线的交点,④错误. 5.解析　(1)如图,过点P作PQ⊥CD于点Q, 因为P是AB的中点,∠A=∠B=90°, 所以PA=PB,PA⊥AD,PB⊥CB, 因为DP平分∠ADC,PA⊥AD,PQ⊥CD,所以PA=PQ, 所以PA=PQ=PB, 因为PB⊥CB,PQ⊥CD,所以CP平分∠BCD. (2)PD⊥PC. 理由:因为∠A=∠B=90°,所以∠A+∠B=180°, 所以AD∥BC,所以∠ADC+∠BCD=180°, 因为DP平分∠ADC,CP平分∠BCD, 所以∠PDC=∠ADC,∠PCD=∠BCD, 所以∠PDC+∠PCD=(∠ADC+∠BCD)=90°, 所以∠DPC=90°,所以PD⊥PC. 6.3 ... ...