5.3 什么是几何证明 基础过关全练 知识点一 基本事实与定理 1.下列说法正确的是( ) A.真命题都是定理 B.定理不一定都要证明 C.证明只能根据定义、基本事实进行 D.基本事实不需要证明 2.下列平行线的判定方法中属于基本事实的是( ) A.平行于同一条直线的两条直线平行 B.同位角相等,两直线平行 C.内错角相等,两直线平行 D.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线 知识点二 证明 3.根据下图填空. 已知:如图,∠BDC=∠DCE,∠ADB=∠E. 求证:∠A=∠CBE. 证明:因为∠BDC=∠DCE(已知), 所以 ∥ ( ), 所以∠E=∠ ( ), 又因为∠E=∠ADB(已知), 所以∠ADB=∠ ( ), 所以AD∥BE( ), 所以∠A=∠CBE( ). 4.(2021山东阳谷期末) 证明:有两个角相等的三角形是等腰三角形. 已知:如图, 在△ABC中, . 求证: . 证明: 5.将纸片△ABC沿DE折叠,其中∠B=∠C. (1)如图1,点C落在BC边上的点F处,AB与DF是否平行 请说明理由; (2)如图2,点C落在三角形ABC内部的点G处,探索∠B与∠1+∠2之间的数量关系,并说明理由. 图1 图2 能力提升全练 6.(2020浙江金华中考,6,★)如图,工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b,得到a∥b.理由是( ) A.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短 B.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C.在同一平面内,过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 7.(2021河北中考,13,★★)定理:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知:如图,∠ACD是△ABC的外角. 求证:∠ACD=∠A+∠B. 证法1:∵∠A+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理),又∵∠ACD+∠ACB=180°(平角定义),∴∠ACD+∠ACB=∠A+∠B+∠ACB(等量代换),∴∠ACD=∠A+∠B(等式性质). 证法2:∵∠A=76°,∠B=59°,且∠ACD=135°(量角器测量所得),135°=76°+59°(计算所得),∴∠ACD=∠A+∠B(等量代换). 下列说法正确的是( ) A.证法1还需证明其他形状的三角形,该定理的证明才完整 B.证法1用严谨的推理证明了该定理 C.证法2用特殊到一般法证明了该定理 D.证法2只要测量够一百个三角形进行验证,就能证明该定理 8.(2022山东临清期末,22,★★)如图,已知AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,∠E=∠3,求证:AD平分∠BAC. 9.(2021浙江杭州中考节选,21,★★)如图,在△ABC中,∠ABC的平分线BD交AC边于点D,AE⊥BC于点E.已知∠ABC=60°,∠C=45°,求证:AB=BD. 素养探究全练 10.[逻辑推理](2018山东滨州中考)在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为BC的中点. (1)如图1,若点E、F分别为AB、AC上的点,且DE⊥DF.求证:BE=AF; (2)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE=AF吗 请利用图2说明理由. 图1 图2 答案全解全析 基础过关全练 1.D 真命题不一定是定理,选项A错误;定理都需要经过推理证明,选项B错误;证明可以通过定义、基本事实、已经证明的定理和已知条件进行,选项C错误;由基本事实的定义可知,选项D正确. 2.B A是由基本事实推出的定理;C是由B推出的平行线的判定定理;D是平行线的定义;B是基本事实,故选B. 3.EC;DB;内错角相等,两直线平行;DBE;两直线平行,内错角相等; DBE;等量代换;内错角相等,两直线平行;两直线平行,同位角相等 4.解析 ∠B=∠C;△ABC是等腰三角形. 证明:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D, 所以∠ADB=∠ADC=90°(垂直的定义), 在△ABD与△ACD中, 所以△ABD≌△ACD(AAS). 所以AB=AC(全等三角形的对应边相等), 所以△ABC为等腰三角形(等腰三角形的定义). 5.解析 (1)AB与DF平行.理由如下: 由翻折得∠DFC=∠C. 又∵∠B=∠C,∴∠B=∠DFC,∴AB∥D ... ...
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