几何证明及通过几何计算进行说理问题 例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题 已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, －3)． （1）求此二次函数的解析式； （2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形． ①求正方形的ABCD的面积； ②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA． 动感体验 请打开几何画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相似． 请打开超级画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相似． 思路点拨 1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A的坐标，用点A的坐标表示AD、AB的长，当四边形ABCD是正方形时，AD＝AB． 2．通过计算∠PAE与∠DPO的正切值，得到∠PAE＝∠DPO＝∠PDA，从而证明△PAD∽△PEA． 满分解答 （1）将点P(0, 1)、Q(2, －3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 所以该二次函数的解析式为y＝－x2＋1． （2）①如图1，设点A的坐标为(x, －x2＋1)，当四边形ABCD恰为正方形时，AD＝AB． 此时yA＝2xA． 解方程－x2＋1＝2x，得． 所以点A的横坐标为． 因此正方形ABCD的面积等于． ②设OP与AB交于点F，那么． 所以． 又因为， 所以∠PAE＝∠PDA． 又因为∠P公用，所以△PAD∽△PEA． 图1 图2 考点伸展 事实上，对于矩形ABCD，总有结论△PAD∽△PEA．证明如下： 如图2，设点A的坐标为(x, －x2＋1)，那么PF＝OP－OF＝1－(－x2＋1)＝x2． 所以． 又因为， 所以∠PAE＝∠PDA．因此△PAD∽△PEA． 例2 2013年江西省中考第24题 某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： （1）操作发现： 在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是_____（填序号即可）． ①AF＝AG＝；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME． （2）数学思考： 在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程； （3）类比探究： 在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：_____． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不变． 请打开超级画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不变． 思路点拨 1．本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系？最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍． 2．三个中点M、F、G的作用重大，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线． 3．两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的角？ 满分解答 （1）填写序号①②③④． （2）如图4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G． 因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高， 所以F、G分别是AB、AC的中点． 又已知M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线． 所以，，MF//AC，MG//AB． 所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC． 所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE． 因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线， 所以，． 所以MF＝EG，DF＝NG． ... ...
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