因动点产生的梯形问题 例1 2012年上海市松江区中考模拟第24题 已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B． （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形． ①求点D的坐标； ②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3交于点E，若，求四边形BDEP的面积． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12松江24”，拖动点P向右运动，可以体验到，D、P间的垂直距离等于7保持不变，∠DPE与∠PDH保持相等． 请打开超级画板文件名“12松江24”， 拖动点P向右运动，可以体验到，D、P间的垂直距离等于7保持不变，∠DPE与∠PDH保持相等，，四边形BDEP的面积为24． 思路点拨 1．这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了． 2．抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D、P两点间的垂直距离等于7． 3．已知∠DPE的正切值中的7的几何意义就是D、P两点间的垂直距离等于7，那么点P向右平移到直线x＝3时，就停止平移． 满分解答 （1）直线y＝3x－3与x轴的交点为A(1，0)，与y轴的交点为B(0,－3)． 将A(1，0)、B(0,－3)分别代入y＝ax2＋2x＋c， 得 解得 所以抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3． 对称轴为直线x＝－1，顶点为(－1,－4)． （2）①如图2，点B关于直线l的对称点C的坐标为(－2,－3)． 因为CD//AB，设直线CD的解析式为y＝3x＋b， 代入点C(－2,－3)，可得b＝3． 所以点D的坐标为（0，3）． ②过点P作PH⊥y轴，垂足为H，那么∠PDH＝∠DPE． 由，得． 而DH＝7，所以PH＝3． 因此点E的坐标为（3，6）． 所以． 图2 图3 考点伸展 第（2）①用几何法求点D的坐标更简便： 因为CD//AB，所以∠CDB＝∠ABO． 因此．所以BD＝3BC＝6，OD＝3．因此D（0，3）． 例2 2012年衢州市中考第24题 如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12衢州24”， 拖动点P在线段OC上运动，可以体验到，在AB的左侧，存在等腰梯形ABPM．拖动点A′在线段AC上运动，可以体验到，Rt△A′OB′、Rt△COD、Rt△A′HG、Rt△OEK、Rt△OFG和Rt△EHK的两条直角边的比都为1∶2． 请打开超级画板文件名“12衢州24”，拖动点P在线段OC上运动，可以体验到，在AB的左侧，存在AM=BP．拖动点A′在线段AC上运动，发现S最大值为0.375． 思路点拨 1．如果四边形ABPM是等腰梯形，那么AB为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB边分成的3小段，两侧的线段长线段． 2．△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，可以通过割补得到，即△OFG减去△OEH． 3．求△OEH的面积时，如果构造底边OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角边的比为1∶2． 4．设点A′移动的水平距离为m，那么所有的直角三角形的直角边都可以用m表示． 满分解答 （1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入y＝ax2＋bx＋c， 得 解得，，． 所以． （2）如图2，过点P、M分 ... ...
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