因动点产生的直角三角形问题 例1 2013年山西省中考第26题 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q． （1）求点A、B、C的坐标； （2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由； （3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“13山西26”，拖动点P在线段OB上运动，可以体验到，当P运动到OB的中点时，四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形．拖动点P在线段EB上运动，可以体验到，∠DBQ和∠BDQ可以成为直角． 请打开超级画板文件名“13山西26”，拖动点P在线段OB上运动，可以体验到，当P运动到OB的中点时，四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形．拖动点P在线段EB上运动，可以体验到，∠DBQ和∠BDQ可以成为直角． 思路点拨 1．第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQ＝DC列方程． 2．第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论． 3．第（3）题△BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形． 满分解答 （1）由，得A(－2,0)，B(8,0)，C(0,－4)． （2）直线DB的解析式为． 由点P的坐标为(m, 0)，可得，． 所以MQ＝． 当MQ＝DC＝8时，四边形CQMD是平行四边形． 解方程，得m＝4，或m＝0（舍去）． 此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,－2)，Q(4,－6)． 所以MN＝NQ＝4．所以BC与MQ互相平分． 所以四边形CQBM是平行四边形． 图2 图3 （3）存在两个符合题意的点Q，分别是(－2,0)，(6,－4)． 考点伸展 第（3）题可以这样解：设点Q的坐标为． ①如图3，当∠DBQ＝90°时， ．所以． 解得x＝6．此时Q(6,－4)． ②如图4，当∠BDQ＝90°时， ．所以． 解得x＝－2．此时Q(－2,0)． 图3 图4 例1 2012年广州市中考第24题 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B的坐标； （2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标； （3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12广州24”，拖动点M在以AB为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个． 请打开超级画板文件名“12广州24”，拖动点M在以AB为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个． 思路点拨 1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个． 2．当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合∠AMB＝90°的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个． 3．灵活应用相似比解题比较简便． 满分解答 （1）由， 得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4, 0)、B(2, 0)．对称轴是直线x＝－1． （2）△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等． 过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H． 由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以． 所以，点D的坐标为． 因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG． 而D′H＝DH，所以D′G＝3DG．所以D′的坐标为． 图2 图3 （3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条 ... ...
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