【核心素养目标】2.3 垂径定理 教学设计

中小学教育资源及组卷应用平台 湘教版版九年级下册数学 2.3 垂径定理教学设计 课题 2.3 垂径定理 单元 第一单元 学科 数学 年级 九 教材分析 学完前面3节，重点学习了圆的概念，圆周角圆心角的概念，圆周角定理及其推论，本节课重点学习一下，垂直于弦的直径的性质。 核心素养分析 本节内容主要研究垂径定理，定理的条件是垂直于弦的直径，结论有直径平分这条弦，直径平分这条弦所对的两条弧。在证明的过程中，培养了学生几何直观的观念，也提高了学生的计算能力。 学习目标 1.证明和理解垂径定理2.运用垂径定理，解决圆与三角形、四边形综合知识解答问题 重点 证明和理解垂径定理 难点 运用垂径定理，解决圆与三角形、四边形综合知识解答问题 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 直径所对的圆周角是___直角____；90°的圆周角所对的弦是____直径___.圆内接四边形的对角___互补____. 回顾知识，温故知新，复习上节直径所对的圆周角，圆内接四边形对角互补。 学生复习圆的周角的性质，引入本节垂径定理内容。 讲授新课 动脑筋在图2-27的⊙O中，AB是任一条弦，CD是⊙O的直径，且CD⊥AB，垂足为E. 试问：AE与BE， 与 ，与 分别相等吗？ 图2-27因为圆是轴对称图形，将⊙O沿直径CD对折，如图2-28，我们发现AE与BE重合， ，分别与， 重合，即AE=BE， = ， = .图2-28解：连接OA，OB. ∵ OA=OB， ∴ △OAB是等腰三角形. ∵OE⊥AB， ∴AE=BE，∠AOD=∠BOD. 从而∠AOC=∠BOC. ∴ = ， = .由此得到垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.变式1 如图，AB是⊙Ｏ的弦，点C、D在弦AB上，且OC= OD. 求证:AC= BD.证明:过点O作OH⊥AB，垂足为H,∴ AH=BH,∵OC=OD，且OH⊥CD,∴CH=DH,∴AH-CH=BH-DH,∴AC=BD.例1 如图2-29，弦AB=8cm，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，求⊙O的直径CD的长.解 连接OA. 设OA=rcm， 则OE＝r-2（cm）. ∵CD⊥AB，由垂径定理得 AE=AB÷2＝4（cm）. 在Rt△AEO中，由勾股定理得OA2＝ OE2+AE2. 即r2＝（r-2）2+42. 解得r＝5 . ∴CD=2r=10（cm）例2 证明： 圆的两条平行弦所夹的弧相等．根据命题画图；写出已知求证；写出证明过程.已知：如图2-30， 在⊙Ｏ中，弦ＡＢ与弦ＣＤ平行． 求证： = ．图2-30证明 作直径ＥＦ⊥ＡＢ， ∴ =. 又 ∵ ＡＢ//ＣＤ，ＥＦ⊥ＡＢ， ∴EF⊥CD． ∴ ＝ ． 因此 ， 即 ．变式2：如图，⊙Ｏ的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙Ｏ于点E，连结EC.若AB=8，OC =3，则EC的长为( )A.6 B.8 C.7 D.解:连接BE，∵AE为⊙Ｏ直径，∴∠ABE =90°，∵OD⊥AB，OD过点O，∴AC=BC=AB=2×8=4∵AO = OE，∴BE =2OC，∵OC = 3，∴BE= 6，在Rt △ CBE中，故选:D.根据以上题目，在圆中添加辅助线构成的三角形的常用方法： 学生独立思考、小组合作，推理垂径定理内容。让学生动手折叠，总结垂径定理性质。学生总结垂径定理的内容，老师作总结。学生记笔记，在运用垂径定理中，添加辅助线构成的三角形的常用方法 在动手折叠推理的基础上，得出垂径定理的内容。学生理解垂径定理的内容，并会运用求解线段长度。掌握规律，运用规律去解题目，正确运用垂径定理。 课堂练习 1. 如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点F，则下列结论不一定正确的是 ( )A. B. AF=BF C. OF=CF D. 解：∵DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD，∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，且AF=BF，故选项A，B，D一定正确;无法证明OF=CF，故选C．2．如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA =8，AB=12，∠A =∠B =60°，则BC的长为( )A.16 B.20 C.18 D.22 解:延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E.∵∠A=∠B=60，∴ADB =60°;∴△ADB为等边三角形;∴BD=AD =AB =12;∴OD = 4，∴OD= 4，又∵∠ADB =60°，∴DE=OD = 2;∴BE=10;∴ ... ...