3.1 向量的数乘运算 3.2 向量的数乘与向量共线的关系 必备知识基础练 1.已知=-,且=k,则k=( ) A.- B. C. D.- 2.已知△ABC的重心为O,则向量=( ) A. B. C.- D.- 3.(多选)已知实数m,n和向量a,b,下列说法中正确的是( ) A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na(a≠0),则m=n 4.下列各组向量中,一定能推出a∥b的是( ) ①a=-3e,b=2e; ②a=e1-e2,b=-e1; ③a=e1-e2,b=e1+e2+. A.① B.①② C.②③ D.①②③ 5.在△ABC中,点P是AB上一点,且,又=t,则t的值为( ) A. B. C. D. 6.(2a-3b)-3(a+b)= . 7.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=a,=b,则= .(用a,b表示) 8.在△ABC中,4=3,且=λ,则λ= . 关键能力提升练 9.如图,已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线与AB,AD所在直线分别交于点M,N,满足=m=n(m>0,n>0),若mn=,则的值为( ) A. B. C. D. 10.(多选)若点D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,则下列结论正确的是( ) A.=-a-b B.=a+b C.=-a+b D.a 11.已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则实数λ的值为( ) A.-1 B.2 C.-2或1 D.-1或2 12.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是 . 13.已知两个非零向量a,b不共线. (1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线; (2)求实数k使ka+b与2a+kb共线. 学科素养创新练 14.过△ABC的重心G任作一直线分别交AB,AC于点D,E,若=x=y,且xy≠0,试求的值. 答案 1.B =-=-)=-,所以,所以,故k=.故选B. 2.C 设E,F,D分别是AC,AB,BC的中点,由于O是三角形ABC的重心,所以×()=×=-.故选C. 3.ABD 根据向量数乘的运算可知A和B正确;当m=0时,ma=mb=0,但a与b不一定相等,故C错误;由ma=na,得(m-n)a=0,因为a≠0,所以m=n,故D正确.故选ABD. 4.B ①中,a=-b,所以a∥b; ②中,b=-e1==-a,所以a∥b; ③中,b=(e1+e2),若e1与e2共线, 则a与b共线,若e1与e2不共线,则a与b不共线. 故选B. 5.A ∵=t, ∴=t(), ∴=(1-t)+t, ∴t=. 6.-a-4b (2a-3b)-3(a+b)=a-b-3a-3b=-a-4b. 7.-a+b )=-=-a+b. 8.4 由题意得3()= 3,如简图,所以=4,即λ=4. 9.D 因为, 又因为=m=n(m>0,n>0), 故, 又因为O,M,N三点共线,所以=1,即m+=2. 由解得.故选D. 10.ABC 如图, 在△ABC中,=-=-b-a,故A正确;=a+b,故B正确;=-b-a,=b+×(-b-a)=-a+b,故C正确;=-a,故D不正确.故选ABC. 11.D 因为A,B,C三点共线, 所以存在唯一一个实数k使=k. 因为=λa+2b,=a+(λ-1)b, 所以λa+2b=k[a+(λ-1)b]. 因为a与b不共线,所以 解得λ=2或λ=-1. 12.梯形 因为=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2, 所以AD∥BC,且AD=2BC.所以四边形ABCD是梯形. 13.(1)证明因为=a+b,=2a+8b+3a-3b=5a+5b=5(a+b)=5, 所以共线,且有公共点B,所以A,B,D三点共线. (2)解因为ka+b与2a+kb共线, 所以存在实数λ,使ka+b=λ(2a+kb). 所以(k-2λ)a+(1-λk)b=0, 所以解得k=±. 14.解如图,设=a,=b,则(a+b)=(a+b). ∴a-b, =xa-yb. ∵共线, ∴存在实数λ,使=λ, ∴a-b=xλa-yλb, ∴ ... ...
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