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课件网) 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 韦达，1540 年出生于法国的波亚图，他把符号系统引入代数学，对数学的发展发挥了巨大的作用，人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父” ． x+y=8 x=7 s=vt a=b-10 y=3x+4 a+b=3 a2+b2=c2 导入新课 -4 1 2 3 -1 -3 -4 5 6 (1) x2 + 3x - 4 = 0；(2) x2 - 5x + 6 = 0； 算一算 解下列方程并完成填空： x1 + x2 = ？ x1·x2 = ？ 2x2 + 3x + 1 = 0 方程两根 x1 x2 一元二次方程 x2 + 3x - 4 = 0 x2 - 5x + 6 = 0 (3) 2x2 + 3x + 1 = 0. 将二次项系数化为 1 对于一般的一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0），是否有一 样的规律吗？ 讲授新课 如何求出一般的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 两根之积、两根之和？ 思考探究 有实数根的前提是什么呢？ Δ=b2-4ac≥0 讲授新课 对于方程ax2+bx+c=0(a≠0) ，当Δ≥0时，设ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，此时x1+x2，x1·x2等于多少呢？ 探究结论 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么 ， 注意 满足上述关系的前提条件 b2 - 4ac≥0. 一元二次方程的根与系数的关系 人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”． 探究结论 例1 不解方程，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 – 6x – 15 = 0；（2） 5x – 1 = 4x2 （1）解： a = 1，b = – 6， c = – 15． （2）解：整理方程得：4x2-5x+1=0 Δ = b2 - 4ac = ( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15 ) = 96 > 0． ∴方程有两个实数根． 设方程的两个实数根是 x1， x2， 那么x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = - 15． 先化为一般式 定理应用 a = 4，b = – 5， c = 1． Δ = b2 - 4ac = ( – 5 )2 – 4 × (– 5 ) ×1 = 45 > 0． ∴方程有两个实数根． 设方程的两个实数根是 x1， x2， 那么 x1 + x2 = ， x1 x2 = ． 练习1 不解方程，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）3x2 + 7x - 9 = 0；（2） 2x2-4x +9 =0． （2）解：a = 2，b = - 4，c = 9． Δ = b2 - 4ac = (-4)2 – 4 ×2×9 = -56 < 0． ∴方程无实数根． （1）解：a = 3，b = 7， c = - 9． Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 ×3×(-9) = 157 > 0． ∴方程有两个实数根． 设方程的两个实数根是 x1， x2， 那么 x1 + x2 = ， x1 x2 = -3． 定理应用 例2 设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则 (1)x1 + x2 = ，x1·x2 = ． （x1+x2）2 – 2x1x2 ∴原式=42 – 2×1 =14 4 1 (x1 + 1)(x2 + 1)= (2)求下列式子的值： x12+ x22 = x1x2+(x1+x2)+1 ∴原式=1+4+1 =6 定理应用 ∵x1+x2=4，x1x2=1 ∵x1+x2=4，x1x2=1 ∴原式 ∵x1+x2=4，x1x2=1 x1 + x2 = ４ ，x1·x2 = 1 变式 设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，求下列式子的值： (x1- x2)2 定理应用 一元二次方程的根与系数的关系 内 容 应 用 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么 ， 课堂小结 …… (x1 + 1)(x2 + 1) x12+ x22 (x1- x2)2 思考题： 当 k 为何值时，方程 2x2 - kx + 1 = 0 的两根之差为 1？ 必做题： 1.教材P16练习； 2.教材P17复习巩固第7题； 3.教材P25复习巩固第4题． 常思常悟 课后作业 ... ...
