【名校名卷取精 百师题源】2014年数学中考抢分训练之“小题狂做”：相似图形（含解析）

相似图形 一、选择题(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 1. 如图，小正方形的边长均为1，关于△ABC和△DEF的下列说法正确的是(　　) A．△ABC和△DEF一定不相似 B．△ABC和△DEF是位似图形 C．△ABC和△DEF相似且相似比是1∶2; D．△ABC和△DEF相似且相似比是1∶4 2. 已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝(　　) A . B. C. D．2 3．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于(　　) A．0.618 B.　　　 C. D．2 4．如图，正方形ABCD的两边BC， AB分别在平面直角坐标系的x轴，y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC＝3，若点A′的坐标为(1，2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是(　　) A.　 　　B.　 　　C.　　 　D. 5. 如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心相似比为1∶，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为(　　) A．(，0)　　 B．(，) C．(，) D．(2，2) 二、解答题(本大题共2小题，共30分) 6. (12分)如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′＝EB.类似地，在AB上折出点B″，使AB″＝AB′，这时B″就是AB的黄金分割点，请你证明这个结论 7．(18分)如图，正三角形ABC的边长为3＋. (1)如图1，正方形EFPN的顶点E，F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法)； (2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长； (3)如图2，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPN，使得DE，EF在边AB上，点P，N分别在边CB，CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由． 参考答案 1. C　解析：两个三角形的各边长分别是，2，和2，4，2，对应边的比是1∶2，所以△ABC和△DEF相似，但对应顶点连线未交于一点，所以△ABC和△DEF不是位似图形，故选C. 2. B　解析：∵AB＝1，设AD＝x，则FD＝x－1，EF＝1，∵四边形EFDC与矩形ADCB相似，∴＝，即＝，解得x2－x－1＝0，则x1＝，x2＝(负值舍去)，经检验x1＝是原方程的解． 3. B　解析：由题意得矩形ABCD与矩形AEFB相似，则＝， 又AE＝AD，所以AB2＝AD2，＝，故选B. 4. B　解析：∵在正方形ABCD中，AC＝3，∴BC＝AB＝3，延长A′B′交BC于点E，∵点A′的坐标为(1，2)，∴OE＝1，EC＝A′E＝3－1＝2， ∴正方形A′B′C′D′的边长为1，∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比为. 5. C　解析：由已知得，E点的横坐标就是点A横坐标的倍，点E的纵坐标就是点C纵坐标的倍． 6. 证明：设正方形ABCD的边长为2， ∵E为BC的中点，∴BE＝1∴AE＝＝. 又B′E＝BE＝1，∴AB′＝AE－B′E＝－1. 又∵AB″＝AB′＝－1，∴AB″∶AB＝(－1)∶2.(10分) ∴点B″是线段AB的黄金分割点．(12分) 7. 解：(1)如图①，正方形E′F′P′N′即为的所求．(4分) 图(1) 　　　　图(2) (2)设正方形E′F′P′N′的边长为x. ∵△ABC为正三角形，∴AE′＝BF′＝x. ∴x＋x＝3＋.∴x＝，即x＝3－3.(8分) (没有分母有理化也对，x≈2.20也正确) (3)如图(2)，连接NE，EP，PN，则∠NEP＝90°. 设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n(m≥n)，它们的面积和为S，则NE＝m，PE＝n. ∴PN2＝NE2＋PE2＝2m2＋2n2＝2(m2＋n2)， ∴S＝m2＋n2＝PN2. 延长PH交ND于点G，则PG⊥ND. 在Rt△PGN中，PN2＝PG2＋GN2＝(m＋n)2＋(m－n)2. ∵m＋m＋n＋n＝＋3， 即m＋n＝3 ... ...