课题学习：猜想、证明、拓广[上学期]

课件21张PPT。课题学习猜想,证明与拓广 挑战“自我”猜想,证明与拓广1.任意给定一个正方形,是否存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍?2.你准备怎么去做? 3.你有哪些解决方法?挑战“自我”解:设给定的正方形边长为a,则其面积是a2.猜想,证明与拓广若周长倍增,即边长变为2a,则面积应为4a2; 若面积倍增,即面积变为2a2,则其边长应为 a.无论从哪个角度考虑,都说明不存在这样的正方形.挑战“自我”猜想,证明与拓广任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍?老师提示: 矩形的形状太多了我们可以先研究一个具体的矩形,比如长和宽分别为2和1,怎么样?挑战“自我”由特殊到一般解:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2.所求矩形的周长和面积应分别为12和4.接下来该怎么做?你有何想法?有两种思路可供选择: 先从周长是12出发,看面积是否是4; 或先从面积是4出发,看周长是否是12.挑战“自我”(1)从周长是12出发,看面积是否是4; 如果设所求矩形的长为x,那么它宽为6-x,其面积为x(6-x).根据题意,得 x(6-x)=4. 即 x2-6x+4=0. 如果这个方程有解,则说明这样的矩形存在. 解这个方程得:猜想,证明与拓广结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.挑战“自我”(2)从面积是4出发,看周长是否是12. 解:如果设所求矩形的长为x,那么宽为4/x,其周长为x+4/x).根据题意,得 x+4/x=6. 即 x2-6x+4=0. 显然这个方程有解,由此说明这样的矩形存在. 解这个方程得:猜想,证明与拓广结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.挑战“自我”由特殊到一般如果已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还有相同的结论? 如果已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,……,n和1呢? 更一般地,当已知矩形的长和宽分别为m和n时,是否仍然有相同的结论? 还等什么！用实际行动证明.由特殊到一般挑战“自我”分析:如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别为4(m+n)和2mn. 从周长是4(m+n)出发,看面积是否是2mn; 解:如果设所求矩形的长为x,那么它宽为2(m+n)-x,其面积为x[2(m+n)-x].根据题意,得 x[2(m+n)-x]=2mn. 即 x2-2(m+n)x+2mn=0. 解这个方程得:若从面积是2mn出发,可得同样的结论.挑战“自我”结论:任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.猜想,证明与拓广老师期望: 同学们,把自己对上述探究过程中的方法和感受与同伴进行交流,这样会使受益匪浅.老师提示: 在探索结论:“任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.”的过程中,我们经历了猜想,由特殊到一般的尝试,证明,拓广的全过程,从而得到了一般性的结论.任意给定一个矩形,是否一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半? 你准备怎么去做?猜想,证明与拓广挑战“自我”小明认为,这个结论是正确的,理由是:既然任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.也就是任何一个矩形 的周长和面积可以同时“加倍”,那么,原矩形自然满足新矩形的“减半”要求,即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半.猜想,证明与拓广小明认为,这个结论是正确的,理由是:既然任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.也就是任何一个矩形的周长和面积可以同时“加倍”,那么,原矩形自然满足新矩形的“减半”要求,即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半. 挑战“自我”如果矩形的长和宽分别仍为2和1,那么是否存在一个矩形,它的周长和 ... ...