4.1因式分解 教学目标 1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念. 2.认识因式分解与整式乘法的关系———互逆关系(即相反变形)，并能运用这种关系寻找因式分解的方法. 3.通过对因式分解与整式乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化，培养学生分析问题的能力与综合应用能力. 教学重点难点 重点：理解因式分解的概念，会判断一个变形是否为因式分解. 难点：理解因式分解与整式乘法之间的关系，并能够运用其解决问题. 教学过程 导入新课 【问题1】 某中学决定购买m台电脑和m套桌椅，现在知道每台电脑的单价是a元，每套桌椅的价格是b元，小明说：“总共需要(ma+mb)元.”小华说：“总共需要m(a+b)元”. 教师：同学们，这两位同学的回答正确吗？你们觉得他们计算出的总金额一样吗？它们之间又有怎样的关系？引出课题.（师生互动） 探究新知 探究点一 因式分解的概念 活动1 复习旧知(学生交流) 【问题2】21能被哪些数整除？ 学生：1，3，7，21. 老师：你是怎样想到的？学生：因为21＝1×21＝3×7. 【思考】既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？ 学生：可以. 活动2 探索解法(学生交流) 【问题3】993-99能被100整除吗？ . 所以，993-99能被100整除. 【思考】993-99还能被哪些整数整除 (小组交流，教师点评) 请看课本第92页议一议： 【议一议】你能尝试把a3 – a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流 a3 -a＝a(a+1)(a-1) 【知识讲解】 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式. 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是积的形式. 3.结果中的每一个因式都必须是整式. 活动3 合作探究(师生互动) 【例1】 下列从左到右的变形中是因式分解的有( ) ①x2-y2-1＝(x+y)(x-y)-1；②x3+x＝x(x2+1)；③(x-y)2＝x2-2xy+y2；④x2-9y2＝(x+3y)(x-3y). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解.故选B. 【方法总结】 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式. 【即学即练】 下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是( ) A.x2-x-2＝x(x-1)-2 B.(a+b)(a-b)＝a2-b2 C.x2-4＝(x+2)(x-2) D.x2-＝ 答案：C 探究点二 因式分解与整式乘法的关系及简单应用 活动4 合作探究(师生互动) 【问题4】如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？ 学生： 方法一：m(a+b+c)； 方法二：ma+mb+mc. 教师： 【总结】(学生总结，老师点评) 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆变形，因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式. 【例2】 完成下列题目： （1）x(x-2)＝_____ （2）(x+y)(x-y)＝_____ （3）(x+1)2＝_____ 【答案】x2-2x；x2-y2；x2+2x+1 根据上面的填空，解决下列问题： （1）x2-2x＝( )( ) （2）x2-y2＝( )( ) （3）x2+2x+1＝( )2 【答案】（1）x,x-2;(2)x+y ， x-y ;(3)x+1 活动5 拓展延伸(学生对学) 【例3】已知三次四项式2x3-5x2-6x+k分解因式后有一个因式是x-3，试求k的值及另一个因式. 【探索思路】此题可设此三次四项式的另一个因式为2x2-mx-，将两因式的乘积展开与原三次四项式比较就可求出k的值. 【解】设另一个因式为2x2-mx-，∴(x-3)·＝2x3-mx2-x-6x2+3mx+k＝2x3-(m+6)x2-x+k＝2x3-5x2-6x+k，∴m+6＝5，-3m＝6，解得m＝-1，k＝9，∴另一个因式为2x2+x ... ...
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